简单的三角恒等变换

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:::warning[Warning] 简单的三角恒等变换并不简单。
至少对本文作者来说是这样的。 :::

方法一：利用特殊角和/差角公式化简

  1. \sin 15 \degree + \cos 15 \degree =

    :::success[Sol 1.] 我们发现 45 \degree 有非常好的性质，因为 45 \degree 的 \sin \cos 值相等，所以：

    \sin 15\degree + \cos 45 \degree &= \frac{\sin 15\degree \cos 45\degree + \cos 15\degree \sin 45\degree}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sin 60 \degree}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{6}}{2} \end{aligned}

    第一题只是热身。 :::

    1. 已知 \Large{\frac{\cos 2 \alpha}{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)} = \frac{1}{2}}，则 \cos \alpha + \sin \alpha = :::success[Sol 2.] 我们发现我们要求的答案跟上一题一样，可以用 45 \degree 的特殊性质做，而且这样做跟答案的形式也跟加接近了。 \cos \alpha + \sin \alpha = \sqrt{2} \sin (\alpha + \frac{\pi}{4})

      然后我们观察题目的条件。 首先是 \alpha 的系数不一样，因此可以猜测要用倍角公式化简。
      那么我们又注意到 \frac{\pi}{2} + 2\alpha 这个东西可以直接化成 \alpha，所以就做完了。

      \begin{aligned} \cos 2\alpha &= \cos (2\alpha + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) \\ &= \sin(2\alpha + \frac{\pi}{2}) \\ &= 2\sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) \cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) \end{aligned}

      所以条件可以简化为：

      2\sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \\ \sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{4}

      答案就是：

      \\cos \alpha + \sin \alpha = \sqrt{2} \sin (\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{4}

      :::

方法二：灵活运用各种公式

常用公式

  • \sin\alpha + \sin\beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)
  • \sin\alpha - \sin\beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)
  • \cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)
  • \cos\alpha - \cos\beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

  1. 计算：\Large{ \frac{1}{2\cos{ \frac{3\pi }{5}}} + \frac{\cos\frac{2\pi}5}{\cos{\frac{4\pi}{5}}}=}

    :::success[Sol 3.] 对于这种有多个角度的计算题，我们最好是化为同角，或是有特殊关系的角来计算。

    首先化简 \frac{1}{2\cos{ \frac{3\pi }{5}}}：

    \frac{1}{2\cos{ \frac{3\pi }{5}}} = \frac{1}{-2 \cos{ \frac{2\pi}{5}}}

    接着我们发现剩下的几个角度都看着比较好处理，于是我们呢考虑直接合并：

    \begin{aligned} \frac{1}{-2 \cos{ \frac{2\pi}{5}}} + \frac{\cos\frac{2\pi}5}{\cos{\frac{4\pi}{5}}} &= \frac{\cos \frac{4\pi}{5} - 2\cos^2 \frac{2\pi}5}{-2 \cos{ \frac{2\pi}{5}} \cos{\frac{4\pi}{5}}} \end{aligned}

    由于 - 2\cos^2 \frac{2\pi}5 = 1 - 2\cos^2 \frac{2\pi}5 - 1 = -1 - \cos \frac{4\pi}5，所以原式转化为：

    \frac{1}{2 \cos{ \frac{2\pi}{5}} \cos{\frac{4\pi}{5}}}

    这个东西直接用积化和差是基本做不了的，因此我们想办法从它们的两倍关系入手。

    我们思考可不可以把 \frac{2\pi}5 转成 \frac{4\pi}5，一种可行的方法是利用倍角公式：

    \begin{aligned} \frac{1}{2 \cos{ \frac{2\pi}{5}} \cos{\frac{4\pi}{5}}} &= \frac{\sin \frac{2\pi}5}{2 \sin\frac{2\pi}5 \cos{ \frac{2\pi}{5}} \cos{\frac{4\pi}{5}}} \\ &= \frac{\sin \frac{2\pi}5}{\sin\frac{4\pi}5 \cos{\frac{4\pi}{5}}} \\ &= \frac{\sin \frac{2\pi}5}{\frac12 \sin\frac{8\pi}5} \\ &= \frac{\sin( \pi - \frac{8\pi}5)}{\frac12 \sin\frac{8\pi}5} \\ &= -2 \end{aligned}

    :::