椭圆与双曲线

FS_qwq · 2023-05-07 15:56:35 · 个人记录

椭圆

一、定义

1.第一定义

平面上到两点 F_1,F_2 的距离相加为常数的动点 P 的轨迹称为椭圆。若 F_1,F_2 的距离相加得到的常数是 2a，则 |PF_1|+|PF_2|=2a。

2.第二定义

平面内到定点的距离的和与到定直线的距离之比为常数（这个常数称为离心率）的点 P 的轨迹称为椭圆。

二、椭圆的标准方程

可能没那么好的阅读体验

椭圆的方程:

证明：

如上图，因为 |PF_1|+|PF_2|=2a （ 2a 是一个定值），所以 \sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a，

移项，得 \sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}，

两边平方，得 (x+c)^2+y^2=4a^2-4a×\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2，

将平方展开，得 x^2+2xc+c^2+y^2=4a^2-4a×\sqrt{(x-c)^2+y^2}+x^2-2xc+c^2+y^2，

约去 x^2,c^2,y^2，得 2xc=4a^2-4a×\sqrt{(x-c)^2+y^2}-2xc，

移项化简，得 4xc=4a^2-4a×\sqrt{(x-c)^2+y^2}，

两边约掉 4，得 xc=a^2-a×\sqrt{(x-c)^2+y^2}，

移项，得 a×\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-xc，

两边平方，得 a^2×[(x-c)^2+y^2]=a^4-2xca^2+x^2c^2，

将平方展开，得 a^2(x^2-2xc+c^2+y^2)=a^4-2xca^2+x^2c^2，

展开，得 a^2x^2-2xca^2+a^2c^2+a^2y^2=a^4-2xca^2+x^2c^2，

两边约去 -2xca^2，得 a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2=a^4+x^2c^2，

移项，得 a^2x^2-x^2c^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2，

所以 x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)，

令 b^2=a^2-c^2，则 x^2b^2+a^2y^2=a^2b^2，

所以 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1。

三、椭圆的几何性质

双曲线

一、定义

平面内与点 F_1,F_2 的距离相减的绝对值等于常数的点 P 的轨迹称为双曲线。

二、双曲线的方程

双曲线的方程：

证明：

如上图，因为 |PF_1-PF_2|=2a，所以 \sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a，

类似椭圆的标准方程的证明，可得 x^2(c^2-a^2)-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)，

令 b^2=c^2-a^2，所以 x^2b^2-a^2y^2=a^2b^2，

所以 \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1。

三、双曲线的几何性质