函数项列在连续性,可积性和可微性上的补充结论

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众所周知,函数项列的大部分性质都难以在极限处保存.为使得其得以保存,我们引入了一致收敛的概念,从而使得极限号可以和若干符号可交换.

一致收敛强大的地方在于,对于收敛来说,是取定了x再挪动n,因此n可以控制x.然而,一致收敛要求先取定n再挪动x.这种天然的交换能力赋予了一致收敛的强大.另外还容易见到,当I的点集是有限的时候,一定一致收敛,这使得如果整体的函数可以被足够密的点控制住,那么整个函数亦然可以.大部分结论都是基于这个原理来交换极限号和其它符号,这里不再赘述.

然而事实上,连续性,可积性和可微性上都存在结论的补充(或增强).这也是题目名为"补充结论"而非"更强结论"的原因.

连续性上的迪尼定理

在连续性上,我们可能会考虑连续性的保持是否能反推一致收敛.我们事实上有迪尼定理:

如果f_n(x)\in C[a,b],当n<m的时候,\forall x\in [a,b],f_n(x)\leq f_m(x),此时如若f_n\rightarrow f,而且f\in C[a,b],则f_n\rightrightarrows f.也就是只要有一定的单调性,我们就可以说连续函数列收敛到连续函数是一致连续的充要条件.

取R_n(x)=f(x)-f_n(x)\geq 0,注意到\lim_{n\to \infty}R(x)=0而且R_n(x)连续且逐点随n单调递减,则必有R_n\to 0.如果我们能证明R_n(x)\rightrightarrows 0,那就万事大吉.不妨设M_n=\max_{x\in [a,b]}R_n(x)=R_n(x_n),那么只要证明M_n\to 0就可以搞定一致收敛.然而M_n本身是单调下降的.反证,如果\lim_{n\to \infty}M_n=c> 0,此时观察x_n\in [a,b],既然如此,\{x_n\}必定有收敛子列,任取一个收敛子列\{x_{n_k}\}并假设其收敛到x_0,接下来看:

\lim_{m\to \infty}R_m(x_0)\\ =\lim_{m\to \infty}\lim_{x_{n_k}\to x_0}R_m(x_{n_k})\\ \geq \lim_{m\to \infty}\lim_{n_k>m,x_{n_k}\to x_0}R_{n_k}(x_{n_k})\\ =\lim_{x_{n_k}\to x_0}R_{n_k}(x_{n_k})>0

可这就出事了.于是矛盾,反证成立.

可积性上的控制收敛定理

在与黎曼可积打交道的时间中,我们早就意识到了:黎曼可积的结果其实只是"大约"取决于原函数.或者说,我对原函数加一些神秘噪音(比如说改变有限个点的取值之类),其实并不影响原函数的结果.这也许会意味着,也许有比一致连续更弱的条件,使得也可以推出可积性的保持.这其实已经来到勒贝格积分的范畴了.不过我们下面的讨论不会涉及勒贝格积分本身(虽然我觉得只是套皮勒贝格).

我们有控制收敛定理:假设f_n\in R[a,b],而且它们一致有界,\forall n,\forall x\in [a,b],|f_n|\leq M.并且f(x)=\lim_{n\to \infty}f_n(x)\in R[a,b],则\int_a^b f(x){\rm d}x=\lim_{n\to \infty}\int_a^b f_n(x){\rm d}x.

为证明此,先引入一些相关的定义:

定义阶梯函数为分段常值函数,假设f\in R[a,b],则我们可以用阶梯函数逼近f,具体而言,假设g是阶梯函数,并且g\leq f,那么我们可以将g类似达布下和而分划够细,以使得\int_a^b f{\rm d}x=\sup_{g\leq f,\text{g is a step function}}\{\int_a^b g(x){\rm d}x\}.

定义初等集:有限个不交区间的并,可以见到其测度m(E)就是所有不交区间的长度之和.

定义闭初等集:有限个不交闭区间的并.

定义有界闭初等集列:A_n是闭初等集.容易见到,如果A_n\ne \empty,而且A_{n+1}\subseteq A_n,则\bigcap_{n=1}^\infty A_n\ne \empty,证明的话只需类似区间套定理,每个A_n内取一个点,这个点列是有界的,那它就一定有收敛子列,收敛到的那个点一定被含在每一个A_n中.这就搞定.

不妨设A_n是有界非空集列,满足A_{n+1}\subseteq A_n,A_n\ne \empty,\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\empty.此时定义\alpha_n=\sup\{m(E)\mid E\subseteq,\text{E is a closed elementary set}\}.我们下面证明\lim_{n\to \infty}\alpha_n=0.

首先显然\alpha_n单调递减.如若其不以0为极限,则一定有正下界\alpha_n>\delta>0.我们可以取A_n的闭初等子集E_n\subseteq A_n满足m(E_n)>\alpha_n-\frac{\delta}{2^n}.

接下来定义H_n=\bigcap_{k=1}^n E_k,这当然是初等集,此时见到H_{n+1}\subseteq H_n.接下来对A_n\setminus H_n的任意初等子集E,显然:

E=E\setminus H_n\\ =E\setminus(\bigcap_{k=1}^n E_k)\\ =\bigcup_{k=1}^n (E\setminus E_k)

而E\subseteq A_n\subseteq A_k,所以E_k和E\setminus E_k都是A_k的初等子集.所以:

m(E\setminus E_k)+m(E_k)\leq \alpha_k\\ m(E\setminus E_k)\leq \frac{\delta }{2^k}

所以m(E)\leq \delta.如果H_n=\empty,那么m(E)=\alpha_n,这就不符.所以H_n\ne \empty,所以\bigcap_{n=1}^\infty H_n\ne \empty,所以\bigcap A_n\ne \empty.矛盾,这就证明了原本的结论.

接下来考虑f(x)-f_n(x),当没有一致连续的条件时,可能出现问题的地方在于有的地方两者不一定靠的足够近.

对于\forall \epsilon>0,A_n=\{x\in [a,b]\mid \exists j\geq n,|f_j(x)-f(x)|\geq \epsilon\}.容易见到A_{n+1}\subseteq A_n,由于f_n\to f,所以\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\empty.引理告诉我们\alpha_n\to 0.既然如此,存在N,使得\forall n\geq N,A_n的任意初等子集E都有m(E)<\epsilon.取F=[a,b]\setminus E

此时取阶梯函数S(x)满足0\leq S(x)\leq |f(x)-f_n(x)|.这个时候看S(x)的积分:

\int_a^b S(x){\rm d}x=\int_E S(x){\rm d}x+\int_F S(x){\rm d}x\\ \leq 2M\epsilon+\epsilon(b-a)

这个对任意S(x)都成立,由于我们之前说的阶梯函数的上界可以逼近原函数,所以这就意味着:

|\int_a^bf_n(x)-f(x){\rm d}x|\\ \leq \int_a^b|f_n(x)-f(x)|{\rm d}x\\ \leq 2M\epsilon+\epsilon(b-a)

这就搞定.

还有另一个结论:假设f_n\in R[a,b],|f_n|\leq M,已知\lim_{n\to \infty} f_n(x)=f(x)存在(注意这里并不要求f(x)\in R[a,b]),我们就可以证明\lim_{n\to \infty}\int_a^b f_n(x){\rm d}x存在.

考虑|\int_a^b f_n{\rm d}x|\leq M(b-a)有界,所以其可以取上下极限操作.令\overline F=\varlimsup_{n\to \infty}\int_a^b f_n{\rm d}x,\underline F=\varliminf_{n\to \infty}\int_a^b f_n{\rm d}x.既然如此,就一定存在两列\{n_k\}和\{m_k\},使得\overline F=\lim_{k\to \infty}\int_a^b f_{n_k}{\rm d}x,\underline F=\lim_{k\to \infty}\int_a^b f_{m_k}{\rm d}x.然而:

\overline F-\underline F=\lim_{k\to \infty}\int_a^b(f_{n_k}-f_{m_k}){\rm d}x\\ =\int_a^b\lim_{k\to \infty}(f_{n_k}-f_{m_k}){\rm d}x =0

这你就可以见到,我们其实可以把这个极限干脆定义成f的积分.这实际上就是勒贝格积分.

可微性的更强结论

我不知道这个定理叫啥,所以管它叫更强结论.

我们最初拿到的定理其实很奇怪,我们竟然要求原函数是C^1的以拿到NL公式,这首先就给人一种强加条件的感觉.因为理论上,我们认为导完后的连续性应该并不影响收敛上的导数的关系.甚至说,如果原函数可导性不够强(不是在区间上处处可导),我们感觉也可以对某些特定可导的点做分析,这就有了下述的更强的结论:

假设对于一串连续函数f_n(x)\in C[a,b],已知\exists x_0\in [a,b],\lim_{n\to \infty}f_n(x_0)存在.若对于\forall \epsilon>0,\exists N>0,\forall n,m\geq N,函数g(x)=f_n(x)-f_m(x)的李氏常数<\epsilon.则我们可以推出\{f_n(x)\}一致收敛,设f_n(x)\rightrightarrows f(x),若对于某个x\in [a,b],如果f_n'(x)恒存在,而且\lim_{n\to \infty} f_n'(x)存在,则f'(x)存在而且f'(x)=\lim_{n\to \infty} f_n'(x).

这个结论当然要严格强于原本的结论,因为闭区间上的可导函数自然是李氏连续函数,如若f_n'(x)一致连续,当然能推出上述的李氏连续性质,立刻得到原本结论.

下面考虑证明:\forall \epsilon>0,\exists N,\forall n,m\geq N,都有|f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\frac{\epsilon}{2},并且f_n(x)-f_m(x)的李氏常数<\frac{\epsilon}{2(b-a)}.注意到此时:

|f_n(x)-f_m(x)|\\ \leq |f_n(x)-f_m(x)-(f_n(x_0)-f_m(x_0))|+|f_n(x_0)-f_m(x_0)|\\ < \frac{\epsilon}{2(b-a)}|x-x_0|+\frac{\epsilon}{2}\leq \epsilon

这就证明了f_n一致收敛,不妨设f_n\rightrightarrows f.

接下来对于某个x\in [a,b],定义\varphi_n(t)=\frac{f_n(t)-f_n(x)}{t-x},t\in [a,b]\setminus \{x\},并补定义\varphi(t)=\frac{f(t)-f(x)}{t-x},t\in [a,b]\setminus \{x\}.显然\varphi_n(t)\in C[a,b]\setminus \{x\}

首先注意到:

|\varphi_n(t)-\varphi_m(t)|\\ =\frac{1}{|t-x|}|f_n(t)-f_m(t)-(f_n(x)-f_m(x))|\\ \leq \frac{1}{|t-x|}\frac{\epsilon}{2(b-a)}|t-x|\\ =\frac{\epsilon}{2(b-a)}

于是\varphi_n(t)一致收敛,而且容易见到\varphi_n\rightrightarrows \varphi.从而:

f'(x)=\lim_{t\to x}\varphi(t)\\ =\lim_{t\to x}\lim_{n\to \infty}\varphi_n(t)\\ =\lim_{n\to \infty}\lim_{t\to x}\varphi_n(t)\\ =\lim_{n\to \infty}f_n'(x)

这就搞定了.

容易发现上述的推论是可导函数列的收敛性质(并不需要C^1).而且我们还可以推出一个推论:那就是导函数一致收敛到的函数也是导函数.