数学专题第五期：超出人类认知的数字

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世界之大无奇不有，人类历史长河中，诞生过许多神奇的数字，这些数字大多数都有实际意义。而这当中最大的数字超乎人类的想象。

1.梅森素数

我们知道，素数是指在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数，梅森素数便是建立在素数概念的基础上。为了找到梅森素数，我们首先要证明素数是无穷的。利用反证法，若素数个数有限，则设一共有 n 个素数，最大的一个为 p，设 q=(2\times 3\times 5\times ... \times p)+1，通过上述假设，可得出 q 为合数，根据合数定义，q 一定能被一素数整除，然而根据 q 的定义，q 除以任意一素数都余 1，与合数的定义矛盾，所以素数一定无限。

要了解梅森素数，首先要知道梅森数。梅森数又称麦森数，是形如 2^p-1 的数，其中 p 为素数。梅森素数是梅森数当中的素数，也就是说，设 q=2^p-1，只有当 q 为素数时，q 才是一个梅森素数（若 q 为素数，p 一定为素数，但反过来不一定），常记为 Mp。如 p=2,则这个梅森素数被记为 M2。

由于素数增长速率较快，梅森素数的增长将无法想象，人们必须使用计算机寻找梅森素数。截止发稿前，人类共发现 51 个梅森素数，最大的是 M82589933，即 2^{82589933}-1，有 24862048 位数。

由于素数有无限多个，所以到目前为止，数学家们并没有确定梅森素数是否有限，梅森素数对另一种数——完全数具有密切关联，所以寻找梅森素数成为了许多数学家毕生的追求。

有关梅森数的题目链接。

2.葛立恒数

在一段时间内，葛立恒数曾经是被吉尼斯世界纪录认证的最大的数，它大到甚至无法用科学计数法表示。如果将这个数字写在若干张普通 A4 纸上，那么连宇宙都装不下这些 A4 纸；如果全宇宙的物质都是墨水，那么这些墨水都写不完这个数字的位数。

那么这个葛立恒数到底是如何表述的呢？数学家葛立恒对一个 N 维的超立方体的几何顶点进行连接，进而获得 2 的 n 次方倍的顶点图形，而把这个图形的每一条边都涂抹上一种固定的颜色。同时必须使四个共面的顶点上必须有一个单色完全子图所能进行搭配的所有填法就是葛立恒数的最终结果。

葛立恒数与数学里的维度观念有着极大的关联性。其实，单单从这个问题的描述上我们就能看出，想要了解葛立恒数的背后奥秘，首先就要突破三维观念的限制，必须把我们的思维扩展到四维甚至更高的维度，以三维的我们是很难找出这个答案的，只有突破维度的约束才能轻松的获取葛立恒数的最终值。

葛立恒在发现了这个数字后认为，若人类真的得出了葛立恒数的答案，那么宇宙将面临重生或灭亡的最终选择。

这个数字还有一个极为可怕的地方：如果这个庞大的数字将在我们人脑中出现的话，那么人脑所含有的信息量将会超出宇宙中黑洞的熵值，甚至能成为宇宙中最大的黑洞。

葛立恒数具体值我们不知道，但是数学家已经发现了它的算术表达式。由于葛立恒数无法用科学计数法表示，数学家高德纳发明了一种叫做高德纳箭头的东西，具体解释非常麻烦，但你要知道，这是一种比梅森素数增长速率还可怕的东西。

首先我们来了解高德纳箭头。高德纳箭头的意义类似于一个递推式。符号 ↑ 就是一个高德纳箭头。递推边界是 a↑b=a^b,a↑^c1=a，递推式是 a↑^{c+1}(b+1)=a↑^c(a↑^{c+1}b)。这就是高德纳箭头，它相当于指数塔的指数塔。

而葛立恒数又是怎样呢？它相当于一个箭头塔，也是一个递推式，递推边界（第一层箭头塔）是 G(1)=3↑↑↑↑3，光这一层就很大了，如果全球的人类来写这第一层，每秒可以写满整个可见宇宙，那得写到猴年马月都写不完。更可怕的是，还有递推式我们没说，递推式就是：G(n+1)=3↑^{G(n)}3。没错，这个箭头塔是呈指数塔的指数塔倍增长。而葛立恒数 =G(64)，非常可怕，如果葛立恒数的位数是太阳，那么人类已知的葛立恒数就像是一粒灰尘。

葛立恒数与人类文明关系巨大，如果破解了葛立恒数问题，人类文明有可能会突破现有的三维，掌握宇宙的秘密。

葛立恒数的最后 500 位是：

0242595069506473839565747913651935179833453536252143003540126026771622672160 4198106522631693551887803881448314065252616878509555264605107117200099709291 2495443788874960628829117250630013036229349160802545946149457887142783235082 9242102091825896753560430869938016892498892680995101690559199511950278871783 0837018340236474548882222161573228010132974509273445945043433009010969280253 5275183328988446150894042482650181938515625357963996189939679054966380032223 48723967018485186439059104575627262464195387。

当然，还有一种叫做 Tree(3) 的数，比葛立恒数还巨大得多，在 Tree(3) 面前，葛立恒数就相当于是 0，关于这个 Tree(3)，我将会在后面的博客中为大家讲解。

完结撒花！

By ImNot6Dora