声音的秘密
一只书虫仔
·
·
个人记录
这节课我们来说说关于三角函数的公式。
诱导公式
整圈
\sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alpha,\cos(\alpha+2k\pi)=\cos\alpha,\tan(\alpha+2k\pi)=\tan\alpha,k\in\mathbb{Z}
半圈
\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha,\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha
关于x轴对称
\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\cos(-\alpha)=\cos\alpha,\tan(-\alpha)=-\tan\alpha
关于y轴对称
sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha,\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha
关于y=x对称
\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha,\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha
$$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha,\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha$$
## 同角三角函数关系式
$1.$平方关系
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\tan^2\alpha+1=\sec^2\alpha,1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha$$
$2.$乘积关系
$$\sin\alpha=\tan\alpha\cdot\cos\alpha,\cos\alpha=\sin\alpha\cdot\cot\alpha,\cot\alpha=\cos\alpha\cdot\csc\alpha$$
$$\csc\alpha=\cot\alpha\cdot\sec\alpha,\sec\alpha=\csc\alpha\cdot\tan\alpha,\tan\alpha=\sec\alpha\cdot\sin\alpha$$
$3.$倒数关系
$$\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1,\sin\alpha\cdot\csc\alpha=1,\cos\alpha\cdot\sec\alpha=1$$
## 和差角公式
$1.$两角和与差的余弦公式
$$C_{\alpha-\beta}:\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$
$$C_{\alpha+\beta}:\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$
$2.$两角和与差的正弦公式
$$S_{\alpha-\beta}:\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$
$$S_{\alpha+\beta}:\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$
$3.$两角和与差的正切公式
$$T_{\alpha-\beta}:\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$
$$T_{\alpha+\beta}:\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$
## 辅助角公式
$a,b$是非零常数，有$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$，其中$(a,b)$是$\varphi$终边上一点，有$\tan\varphi=\dfrac{b}{a}$。
## 二倍角公式
二倍角的余弦公式：
$$C_{2\alpha}:\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$$
二倍角的正弦公式：
$$S_{2\alpha}:\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$
二倍角的正切公式：
$$T_{2\alpha}:\tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$
## 反三角函数
函数$y=\sin x,x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$有反函数，记为
$$y=\arcsin x,x\in[-1,1]$$
称为正弦函数的反函数，它的值域为$\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$，在定义域上单调递增。
函数$y=\cos x,x\in[0,\pi]$有反函数，记为
$$y=\arccos x,x\in[-1,1]$$
称为余弦函数的反函数，它的值域为$[0,\pi]$，在定义域上单调递减。
函数$y=\tan x,x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$有反函数，记为
$$y=\arctan x,x\in\mathbb{R}$$
称为正切函数的反函数，它的值域为$\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，在定义域上单调递增。
好，今天我们就聊到这里。
[上一讲-埃拉托色尼测地球：三角函数1](https://www.luogu.com.cn/blog/20070730bourne/di-qi-jiang)
[下一讲-跨过黄河算距离：解三角形](https://www.luogu.com.cn/blog/20070730bourne/di-jiu-jiang)
[返回总览](https://www.luogu.com.cn/blog/20070730bourne/zong-lan)