题解 P5180 【【模板】支配树】

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灭绝树和支配树应该是一种东西

用于O((n+m)logn)或者O((n+m)\alpha)求解一类如下问题：

在一张捕食图上（从捕食者向被捕食者有连边），若某生物的所有食物都灭绝了，则该生物灭绝。 灭绝树便是此图的一种生成树，使得满足灭绝树上某点灭绝，该点子树内所有点都灭绝

二、实现方式

把图分成以下几种情况考虑

树

本身就是自己的灭绝树

DAG

分以下几步

找LCA用倍增实现即可

一般有向图

例题：HDU4694 Important Sisters：求一般图每个点支配树上的祖先编号之和

orz\ Tarjan

首先把原图dfs一遍，求出dfn序

半支配点

官方定义：semi[x]=min\{v |有路径v->v0->v1...->v_k->x使得dfn[v_i]>dfn[x]对1<=i<=k成立\}，min指dfn最小

通俗一点：从semi[x]到x的路径，掐头去尾，都走的dfn大于x的点

画个图大概就是如下，dfn[]=\{0,1,2,3,4,5,7,6\}，2->6->5掐头去尾的dfn都大于dfn[5]

重要性质： 以下祖先关系均指dfs树的祖先关系

性感地理解就是：semi[x]到x的路径相当于是在dfs树外有一条路，且semi[x]是离根最近的那个点，从semi[x]都走不到x了，那其他的点更走不到了

由此可以得出一种做法，求出semi后转DAG的做法，复杂度O(nlogn)

求半支配点

十分的巧妙

按照dfn序从大到小做，对于x，枚举R存在R->x这条边

for(int w=n;w>=2;w--)
{
    int x=id[w],res=n;
    for(int i=rA.head[x];i;i=rA.a[i].next)
    {
        int R=rA.a[i].to;//反图
        if(!dfn[R]) continue;//有可能root不能走到y
        if(dfn[R]<dfn[x]) res=min(res,dfn[R]);
        else find(R),res=min(res,dfn[semi[mn[R]]]);
    }
    //anc[x]表示x在dfs树上的父亲
    semi[x]=id[res];fa[x]=anc[x];B.link(semi[x],x);
}

其中find(R)表示路径压缩的带权并查集，维护R到其已经被搜过的祖先的 dfn的最小值mn[R]，用semi[mn[R]]去更新semi[x] 然后例题就得到了一种O(nlog)的做法

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstring>
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=3e5+10;
int n,m,ans[N],dfn[N],id[N],tot,dep[N];
int anc[N],fa[N],semi[N],mn[N],in[N],ff[20][N];
int q[N],top;
queue<int> Q;
vector<int> E[N];
struct Map
{
    struct edge {int next,to;}a[N<<1];
    int head[N],cnt;
    void reset() {cnt=0;memset(head,0,sizeof(head));}
    void link(int x,int y) {a[++cnt]=(edge){head[x],y};head[x]=cnt;}
}A,rA,B,C;
void reset()
{
    A.reset();rA.reset();B.reset();C.reset();
    tot=top=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dfn[i]=id[i]=ans[i]=in[i]=anc[i]=dep[i]=0;
        fa[i]=mn[i]=semi[i]=i;
        E[i].clear();
        for(int j=0;j<=18;j++) ff[j][i]=0;
    }
}
void dfs(int x,int fr)
{
    dfn[x]=++tot;id[tot]=x;
    anc[x]=fr;B.link(fr,x);
    for(int i=A.head[x];i;i=A.a[i].next)
        if(!dfn[A.a[i].to]) dfs(A.a[i].to,x);
}
void dfscalc(int x,int fr)
{
    ans[x]=1;
    for(int i=C.head[x];i;i=C.a[i].next)
        dfscalc(C.a[i].to,x),ans[x]+=ans[C.a[i].to];
}
int find(int x)
{
    if(x==fa[x]) return x;
    int tt=fa[x];fa[x]=find(fa[x]);
    if(dfn[semi[mn[tt]]]<dfn[semi[mn[x]]]) mn[x]=mn[tt];
    return fa[x];
}
int LCA(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    int d=dep[x]-dep[y];
    for(int i=18;i>=0;i--) if(d&(1<<i)) x=ff[i][x];
    for(int i=18;i>=0;i--)
        if(ff[i][x]^ff[i][y])
            x=ff[i][x],y=ff[i][y];
    return x==y?x:ff[0][x];
}
void Work()
{
    dfs(n,0);
    for(int w=n;w>=2;w--)
    {
        int x=id[w],res=n;
        if(!x) continue;
        for(int i=rA.head[x];i;i=rA.a[i].next)
        {
            int R=rA.a[i].to;
            if(!dfn[R]) continue;
            if(dfn[R]<dfn[x]) res=min(res,dfn[R]);
            else find(R),res=min(res,dfn[semi[mn[R]]]);
        }
        semi[x]=id[res];fa[x]=anc[x];B.link(semi[x],x);
    }

    for(int x=1;x<=n;x++)
        for(int i=B.head[x];i;i=B.a[i].next)
            in[B.a[i].to]++,E[B.a[i].to].pb(x);
    for(int x=1;x<=n;x++) if(!in[x]) Q.push(x);
    while(!Q.empty())
    {
        int x=Q.front();Q.pop();q[++top]=x;
        for(int i=B.head[x];i;i=B.a[i].next)
            if(!--in[B.a[i].to]) Q.push(B.a[i].to);
    }
    for(int i=1;i<=top;i++)
    {
        int x=q[i],f=0,l=E[x].size();
        if(l) f=E[x][0];
        for(int j=1;j<l;j++) f=LCA(f,E[x][j]);
        ff[0][x]=f;dep[x]=dep[f]+1;C.link(f,x);
        for(int p=1;p<=18;p++) ff[p][x]=ff[p-1][ff[p-1][x]];
    }
    ans[0]=0;dfscalc(n,0);
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    reset();
    for(int i=1,x,y;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        x=n-x+1;y=n-y+1;
        A.link(x,y),rA.link(y,x);
    }
    Work();
    for(int i=n;i>=1;i--) printf("%d ",ans[i]);
    return 0;
}

更高效的做法

https://www.cnblogs.com/fenghaoran/p/dominator_tree.html