题解：P16290 [蓝桥杯 2026 省 Java A 组] 间歇性发射
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题解
一种不同的解题思路
思路分析
条件转换
给定参数 A = 12345678901235，M = 98765432109874，S = 20260411。
由于 A = 12345678901235 是奇数，从 V = \lfloor k/2 \rfloor - A + 1 可推出：
定义 $B = 2A = 24691357802470$，则问题转化为求区间 $[B,\ M]$ 中所有满足 $k \bmod 4 \in \{2,3\}$ 的整数的异或和。
### 前缀异或函数
定义前缀异或函数：
$\operatorname{pre}(n) = \bigoplus_{i=0}^{n} \left( i \cdot [i \bmod 4 \in \{2,3\}] \right)$。
区间 $[B,\ M]$ 的异或和为：
$\operatorname{pre}(M) \oplus \operatorname{pre}(B-1)$。
### 推导 $\operatorname{pre}(n)
设 m = \lfloor n/4 \rfloor，r = n \bmod 4。分情况讨论：
- 若 r < 2，则 \operatorname{pre}(n) = m \bmod 2；
- 若 r = 2，则 \operatorname{pre}(n) = (m \bmod 2) \oplus (4m+2)；
- 若 r = 3，则 \operatorname{pre}(n) = (m \bmod 2) \oplus 1。
计算
对于 M = 98765432109874：
$\operatorname{pre}(M) = 0 \oplus (4m_M + 2) = 98765432109874$。
**对于 $B-1 = 24691357802469$：**
$m_{B-1} = \left\lfloor \frac{B-1}{4} \right\rfloor = 6172839450617$，$r_{B-1} = 1$。
$\operatorname{pre}(B-1) = 1$。
### 结果计算
区间异或和：
$\operatorname{pre}(M) \oplus \operatorname{pre}(B-1) = 98765432109874 \oplus 1 = 98765432109875$。
校验码：
$S \oplus 98765432109875 = 20260411 \oplus 98765432109875 = 98765445405960$。
## 最终答案
$98765445405960