【高考】推导进行n次PCR循环后目的基因的个数

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我知道这个东西很简单各位巨巨不用吐槽我（菜鸡警告
（大概也只有我这种菜鸡有闲心探究这种东西了233
某天做题的时候碰到这样一道题：

问你这段DNA分子进行n次PCR循环后有多少个目的基因
菜菜的我第一次做当然WA掉啦，答案是12，首先解释一下为什么不是16
因为从引物开始扩增，但是不会在目的基因另一端停止，所以这个DNA分子进行一次循环后的产物大概是这样：

并没有直接复制出来目的基因，所以不是16，现在推导答案公式
首先手玩前几次复制后可以发现所有可能的DNA分子种类实际上很少，那么我们就可以画出这些情况，给它们标上号并且确定一次循环后这些分子会变成什么
(我们令上面的链是从左往右扩增的，下面反之

接下来就可以画出这些分子进行pcr的流程

（不要吐槽我鼠绘以及三张图三种画风=。=
这道题到这里就做完了，不过根据上面的流程图就可以写出递推公式：

A_n=2 \quad B_n=A_{n-1}+B_{n-1} \quad C_n=B_{n-1}+2C_{n-1}

然后使用数列的知识解这个递推式，挺简单的：

B_n=2+B_{n-1}=2(n-1)

// C_n=2(n-1)+2C_{n-1}=2n-2+2C_{n-1} 注意这里 B_{n-1}\neq2(n-1) ！！！

C_n=2(n-2)+2C_{n-1}=2n-4+2C_{n-1}

构造

C_n+an+b=2(C_{n-1}+a(n-1)+b)

解得 a=2,b=0

C_n+2n=2(C_{n-1}+2(n-1))

令 D_n=C_n+2n ，则D是以首项 D_1=C_1+2=2 ，公比 q=2 的等比数列
显然 D_n=2^n,C_n=2^n-2n
即复制n次后，目的基因有 2^n-2n 个
结果与实验符合得很好（雾
实际上这个是我第一次推导，比较复杂，另有一种更简洁的推导方法
我们发现公式正好是所有DNA分子数减一个值，这引导我们往用总DNA分子数删去无用分子数的方向去想
根据上面分子去向的图可以发现，每次复制后A分子实际上相当于自己没变，多了一个B，B分子则相当于自己没变，多了一个C
那么每次复制后，无用的分子数都会增加当前A的个数（即A复制出来的那个B
A=2，显然第n次复制后无用分子数有2n个
总分子数是 2^n 个，那么答案就是 2^n-2n 个
（这个公式大概是江苏或者浙江这种地方的考点。。。
（然后老师就把这道题删掉不做了
（是不是可以出道OI题23333
（某个外星人的DNA有n条，珂学家获取了它的一个DNA分子片段并想研究其中一段基因，现在他们想问你经过m次PCR复制之后目的基因有多少条