【高考】推导进行n次PCR循环后目的基因的个数

我知道这个东西很简单各位巨巨不用吐槽我（菜鸡警告 （大概也只有我这种菜鸡有闲心探究这种东西了233 某天做题的时候碰到这样一道题：  问你这段DNA分子进行n次PCR循环后有多少个目的基因 菜菜的我第一次做当然WA掉啦，答案是12，首先解释一下为什么不是16 因为从引物开始扩增，但是不会在目的基因另一端停止，所以这个DNA分子进行一次循环后的产物大概是这样：  并没有直接复制出来目的基因，所以不是16，现在推导答案公式 首先手玩前几次复制后可以发现所有可能的DNA分子种类实际上很少，那么我们就可以画出这些情况，给它们标上号并且确定一次循环后这些分子会变成什么 (我们令上面的链是从左往右扩增的，下面反之  接下来就可以画出这些分子进行pcr的流程  （不要吐槽我鼠绘以及三张图三种画风=。= 这道题到这里就做完了，不过根据上面的流程图就可以写出递推公式： $ A_n=2 \quad B_n=A_{n-1}+B_{n-1} \quad C_n=B_{n-1}+2C_{n-1} $ 然后使用数列的知识解这个递推式，挺简单的： $ B_n=2+B_{n-1}=2(n-1) $ //$ C_n=2(n-1)+2C_{n-1}=2n-2+2C_{n-1} $注意这里$ B_{n-1}\neq2(n-1) $！！！ $ C_n=2(n-2)+2C_{n-1}=2n-4+2C_{n-1} $ 构造 $ C_n+an+b=2(C_{n-1}+a(n-1)+b) $ 解得$ a=2,b=0 $ $ C_n+2n=2(C_{n-1}+2(n-1)) $ 令$ D_n=C_n+2n $，则D是以首项$ D_1=C_1+2=2 $，公比$ q=2 $的等比数列 显然$ D_n=2^n,C_n=2^n-2n $ 即复制n次后，目的基因有$ 2^n-2n $个 结果与实验符合得很好（雾 实际上这个是我第一次推导，比较复杂，另有一种更简洁的推导方法 我们发现公式正好是所有DNA分子数减一个值，这引导我们往用总DNA分子数删去无用分子数的方向去想 根据上面分子去向的图可以发现，每次复制后A分子实际上相当于自己没变，多了一个B，B分子则相当于自己没变，多了一个C 那么每次复制后，无用的分子数都会增加当前A的个数（即A复制出来的那个B A=2，显然第n次复制后无用分子数有2n个 总分子数是$ 2^n $个，那么答案就是$ 2^n-2n $个 （这个公式大概是江苏或者浙江这种地方的考点。。。 （然后老师就把这道题删掉不做了 （是不是可以出道OI题23333 ~~（某个外星人的DNA有n条，珂学家获取了它的一个DNA分子片段并想研究其中一段基因，现在他们想问你经过m次PCR复制之后目的基因有多少条~~