2025 年全国小学生统一考试 数学

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2025 年全国小学生统一考试 数学

参考资料：

  1. 题目中的部分字母代表数字，例如 a+b(以下字母用 a 表示)，当 a=1,b=2 时，a+b=1+2
  2. 除非题目说明，否则 a 均为实数 (我们现阶段所学的数)

注意事项:

  1. 如果监考老师在盯着你的试卷看，请不要给予理会
  2. 如果监考老师看你试卷后摇头叹息，请无视规则一
  3. 看不懂题目是正常现象, 请不要有太大的情绪波动
  4. 小明是真实存在的
  5. 请遵守以上规则否则你会成为小明，且无人帮你。

一.(共 18 分) 填空题

  1. 我们知道 1 + 2 = 3,1 + 2 + 3 = 6,1 + 2 + 3 + 4 = 10...。当我们继续往后写时，式子会变得非常长，一点都不美观，所以我们定义 \sum_{i = 1}^{n}i 表示从 1 加到 n(n 为正整数) 则 \sum_{i = 1}^{10}i=____
  2. 我们学过一些素数、整除、最大公因数之类的概念，定义 \text{gcd}(a,b) 表示 a 和 b 的最大公因数 (a,b 为整数)，a\bmod b 表示 a 除以 b 后的余数 则 \text{gcd}(\text{gcd}(45,15)\bmod 5,10) =____
  3. 定义新运算 \begin{vmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{vmatrix}=a_1a_4 - a_2a_3，若 \begin{vmatrix}x&5\\3&2\end{vmatrix}\geq0，则 x 的最小值为____
  4. 定义新运算 n!=1\times2\times3\times\cdots\times n，则 10!=____
  5. 0 是最小的数吗，其实不然，我们称比 0 小的数叫负数，例如 -1 > -2，a - b = a + (-b)，定义新运算 \vert -a\vert = a (a > 0)，则 1 + (-5) - 6 + \vert -3\vert =____
  6. 我们学过 2^2 = 2\times2，如果 x^2 = 2，那么 x 的值应为多少？这里我们定义若 x^2 = b (b\geq0)，则 x = \pm\sqrt{b}，且 \sqrt{b}\cdot\sqrt{a}=\sqrt{ab}(a\geq0)，\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}，则 \sqrt{50}=____
  7. 定义 a\cdot a\cdot\cdots\cdot a (n 个 a) = a^n，定义新运算 \log_a a^n = n (a > 0,a\neq1)，\log_{10}a = \log_{10}a，\log_e a = \log_e e (e = 2.71\cdots)，其中 \log 表示运算符，则 \log_2 8 + \log_e e^5 + \log_{10} 100 =____
  8. 定义正弦函数为 \sin x，其特殊函数值为 \sin 0 = 0，\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}，\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}，\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}，\sin\frac{\pi}{2}=1，则 \sin\frac{\pi}{6}\sum_{i = 0}^{3}i=____
  9. 定义若 \text{gcd}(m,n)=1 (m,n 为正整数)，则称 m 和 n 互质，定义欧拉函数为 “\varphi(m)”，表示小于 m 且与 m 互质的整数个数，例如 \varphi(6)=2，则 3^{\varphi(10)}=____

二.(共 24 分) 计算题

  1. (\sqrt{10}\cdot\sqrt{2})^2-\log_{10}1000+(\text{gcd}(100,40)\bmod 2)

  2. 设 a = 12，b = 18，c = 5，d = 7，n = 10。计算以下表达式的值：

    \text{gcd}(a,b)+(a\bmod b)+\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+n!+\log_{10}n+\sin(\frac{\pi c}{n})+\varphi(n)

三.(共 8 分) 选择题

  1. 有一种 “交替数列”，它的奇数项都是 2，偶数项都是前一个奇数项的 2 倍。则这个数列的第 6 项为 ( )\ A. \ 4\ \ \ B. \ 6\ \ \ C. \ 8\ \ \ D. \ 10

  2. 定义一元二次方程的一般形式为 ax^{2}+bx + c = 0 其中 a,b,c 为实数 (目前我们所学的数都为实数)，则此方程的解为 ( )\ A. \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}+4ac}}{2a} B. \frac{a\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} C. \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{a} D. \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

  3. 在直角三角形中，设两条直角边分别为 a、b，斜边为 c。则这三条边的关系为 a^{2}+b^{2}=c^{2}，我们称之为” 勾股定理”，设直角三角形其中一个锐角为 \theta，\theta 角对应的对边为 a，邻边为 b，斜边为 c，定义 \sin\theta=\frac{a}{c}，\cos\theta=\frac{b}{c}，则 \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = ( )\ A. \ 2\ \ \ B. \ 1\ \ \ C. \ 4\ \ \ D. \ 3 \ \ \

  4. 我们知道 “姜萍第一恒等式” 是 主 =6，什么？你说你不知道？不知道的罚抄试卷 100 遍。除此之外还有姜萍第二恒等式 a^b = ab，姜萍第三恒等式 \sum^{\infty}=\frac{\infty}{2}，则下列选项正确的是 ( )\ A. \sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}\ B. \sum^{\infty}\cdot\frac{1}{\infty}=\frac{1}{2}\ C. 主 \bmod 2 = 3\ D. 姜萍恒等式是错的

四.(共 50 分) 应用题

  1. (5 分) 小明到街上去买菜，买了一斤青菜和一个袋子，青菜 10 元一斤，袋子 0.5 元，老板问小明：你购买的总价 y (单位：元) 与购买的青菜的质量 x (单位：千克) 之间的函数关系是什么？小明听得一脸懵逼，表示自己没学过，于是老板向小明解释了函数的概念：” 用数学符号表示，函数通常写作 y = f(x)。这里的 x 是你放进机器的数（输入），y 是机器吐出来的数（输出），f 是机器的处理规则（函数）。” 小明表示听不懂，老板很是生气，说：“如果回答不出这个问题就不卖你菜了”，小明急得大哭，因为如果买不到菜妈妈会打他的，你能帮小明回答这个问题吗？

  2. (5 分) 小明骑车回家撞到了一个人，那个人张口就要小明赔他 100000 元，小明急得大哭，因为妈妈知道这件事会打断他的腿，那个人说想不赔钱也行，那你要回答我这个问题，小明接过纸条看，上面写着 f(x)=\frac{x^5\sin x - e^x\cos x+\ln x}{x^3} 求 f^\prime(x)，小明一眼就认出了 f(x) 是今天上午买菜时学的函数，但他不知道 f 上面的 ^\prime 是什么意思，于是那个人给了他一个公式表：(u\pm v)^\prime = u^\prime\pm v^\prime，(uv)^\prime = uv^\prime + u^\prime v，(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - v^\prime u}{v^2}，(\sin x)^\prime = \cos x，(\cos x)^\prime = -\sin x，(e^x)^\prime = e^x，(\ln x)^\prime = \frac{1}{x}，x^a = ax^{a - 1}（a 为实数），(C)^\prime = 0（C 为实数），你能帮小明解决这个问题吗？

  3. (20 分) 小红的哥哥正在备考 2025 全国高中数学联赛，有一天，小红无意间进入了哥哥的房间，看到一张纸上写着 “11.(本题满分 20 分) 设复数 z,w 满足 z + w = 2，S=\vert z^2 - 2w\vert+\vert w^2 - 2z\vert 的最小可能值。” 又看到哥哥手机上朋友说：“复数放 11 题不送分吗，先设 a + bi 然后换元放缩构造一个一元函数就出来了。” 哥哥回了一句懂了，但是小红知道以哥哥的性格肯定只是不懂装懂，小红决定帮助哥哥解决这个问题，小红查阅了相关资料：“复数的一般形式：z = a + bi，i^2 = -1，\vert z\vert=\sqrt{a^2 + b^2}”，请你帮助小红解决这个问题吧。

  4. (10 分) 小明暗恋小红很久了，有一天小明鼓起勇气向小红表白，小红说：“如果你做出这道题我就接受你的表白”，上面写着：“取整函数（也称为地板函数或下取整函数）是一个将实数映射到小于或等于该数的最大整数的函数。取整函数通常用符号 \lfloor x\rfloor 表示，其中 x 是一个实数。例如 \lfloor 3.7\rfloor = 3，\lfloor -1.2\rfloor = -2，\lfloor 5\rfloor = 5。向上取整函数（也称为天花板函数）用符号 \lceil x\rceil 表示，它将实数 x 映射到大于或等于 x 的最小整数。证明：对于任何实数 x，有 \lceil x\rceil = -\lfloor -x\rfloor” 小明懵了，以他的数学水平怎么可能会证明这个，你能帮助小明完成表白吗？

  5. (10 分) 有一天，小绿写作业的时候看到一道找规律题 “1,2,3,4,5,____,7”，小绿想：这里只能填一个答案吗？带着疑问小绿找到了先辈，先辈说：“这里还可以填 114514，当这里填 114514 时，它就是著名的恶臭数列。” 小绿懵逼了，于是先辈告诉小绿拉格朗日插值法，让他自己好好想想。拉格朗日插值法是一种多项式插值方法，用于通过给定的一组点来构造一个多项式，该多项式在这些点上取给定的值。具体来说，给定 n + 1 个点 (x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n) 其中 x_i 互不相同，拉格朗日插值法可以构造一个 n 次多项式 P(x)，使得 P(x_i)=y_i 对于所有 i = 0,1,\cdots,n 都成立。拉格朗日插值多项式 P(x) 的表达式为：p(x)=\sum_{i = 0}^{n}y_iL_i(x)。其中 L_i(x) 是拉格朗日基多项式，定义为：L_i(x)=\prod_{0\leq j\leq n,j\neq i}\frac{x - x_j}{x_i - x_j}。每个 L_i(x) 是一个 n 次多项式。(\prod_{0\leq j\leq n}\frac{x - x_i}{x_i - x_j}=\prod_{j = 0}^{n}\frac{x - x_i}{x_i - x_j}=\frac{x - x_i}{x_i - x_0}\cdot\frac{x - x_i}{x_i - x_1}\cdots\frac{x - x_i}{x_i - x_n})

例子：例假设我们有三个点 (1, 2)，(2, 3)，(3, 5)，我们希望找到一个二次多项式 P(x) 通过这些点。首先，我们计算拉格朗日基多项式 L_0(x),L_1(x),L_2(x)：然后，我们使用这些基多项式来构造 P(x)：展开并合并同类项，最后的结果就是这三个点的通项式。

同理我们也可以构造点 (1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,114514)(7,7)，请帮小绿求出恶臭数列的通项公式。

参考答案

  1. 55
  2. 10
  3. \frac{15}{2}
  4. 3628800
  5. -7
  6. 5\sqrt{2}
  7. 10
  8. 3
  9. 81
  10. 17
  11. 3628818
  12. A
  13. D
  14. B
  15. B
  16. y = 20x + 0.5
  17. f^\prime(x)=\frac{(x^{3}+3)(5x^{4}\sin x + x^{5}\cos x - e^{x}\cos x + e^{x}\sin x+\frac{1}{x})-3x^{2}(x^{5}\sin x - e^{x}\cos x+\ln x)}{(x^{3}+3)^{2}}
  18. 解：

令 z = a + bi，则 w = 2 - a - bi

S&=\vert(a + bi)^{2}-2(2 - a - bi)\vert+\vert(2 - a - bi)^{2}-2(a + bi)\vert\\ &=\vert a^{2}-b^{2}-4 + 2a + 2(a + 1)bi\vert+\vert4 - 6a + a^{2}-b^{2}-2(3 - a)bi\vert\\ &\geq\vert a^{2}+2a - 4 - b^{2}\vert+\vert a^{2}-6a + 4 - b^{2}\vert\\ &=\vert(a + 1)^{2}-5 - b^{2}\vert+\vert(a - 3)^{2}-5 - b^{2}\vert \end{align*}

令 t = a + 1，f(t)=\vert t^{2}-(b^{2}+5)\vert+\vert(t - 4)^{2}-(b^{2}+5)\vert 易知 f(t)=f(4 - t)，

令 t\geq2，k = \sqrt{b^{2}+5} 当 t\in[2,k] 时，t - 4\in[-2,k - 4]，f(t)=(b^{2}+5 - t)+(b^{2}+5-(t - 4)^{2})

f(t)-f(k)=(b^{2}+5 - t^{2})+(b^{2}+5-(t - 4)^{2})-(b^{2}+5-(k - 4)^{2})=(2k^{2}-8k)-(2t^{2}-8t)\geq0

当 t\in[k,+\infty] 时，t + k\geq4

f(t)-f(k)&=t^{2}-(b^{2}+5)-\vert(t - 4)^{2}-(b^{2}+5)\vert-\vert(k - 4)^{2}-(b^{2}+5)\vert\\ &\geq t^{2}-k^{2}-\vert(t - 4)^{2}-(k - 4)^{2}\vert\\ &=(t - k)(t + k)-(t - k)(t + k - 8)\\ &\geq0 \end{align*}

所以 S\geq f(k)=b^{2}+5-(k - 4)^{2}=8\sqrt{b^{2}+5}-16\geq8\sqrt{5}-16

当且仅当 b = 0，a=\sqrt{5}-1 时，等号成立 所以 S 的最小值为 8\sqrt{5}-16

  1. 证明：

当 x 为整数时，[x]=x，等式显然成立。

当 x 不属于整数时，设 x>0，x - [x]=f，x - f=n 所以 [x]=n + 1，[-x]=-n - 1 所以 [-x]+[x]=-n - 1 + n + 1 = 0 即 [x]=-[ - x]

  1. 解：

构造点 (x_0,y_0)=(1,1)，(x_1,y_1)=(2,2)，(x_2,y_2)=(3,3)，(x_3,y_3)=(4,4)，(x_4,y_4)=(5,5)，(x_5,y_5)=(6,114514)，(x_6,y_6)=(7,7)

\begin{align*} L_0 &= \frac{(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7)}{(1 - 2)(1 - 3)(1 - 4)(1 - 5)(1 - 6)(1 - 7)} \\ &= \frac{(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7)}{720} \end{align*} \begin{align*} L_1 &= \frac{(x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7)}{(2 - 1)(2 - 3)(2 - 4)(2 - 5)(2 - 6)(2 - 7)} \\ &= -\frac{(x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7)}{120} \end{align*} \begin{align*} L_2 &= \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7)}{(3 - 1)(3 - 2)(3 - 4)(3 - 5)(3 - 6)(3 - 7)} \\ &= \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7)}{48} \end{align*} \begin{align*} L_3 &= \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5)(x - 6)(x - 7)}{(4 - 1)(4 - 2)(4 - 3)(4 - 5)(4 - 6)(4 - 7)} \\ &= -\frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5)(x - 6)(x - 7)}{36} \end{align*} \begin{align*} L_4 &= \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 6)(x - 7)}{(5 - 1)(5 - 2)(5 - 3)(5 - 4)(5 - 6)(5 - 7)} \\ &= \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 6)(x - 7)}{48} \end{align*} \begin{align*} L_5 &= \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 7)}{(6 - 1)(6 - 2)(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5)(6 - 7)} \\ &= -\frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 7)}{120} \end{align*} \begin{align*} L_6 &= \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6)}{(7 - 1)(7 - 2)(7 - 3)(7 - 4)(7 - 5)(7 - 6)} \\ &= \frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6)}{720} \end{align*}

所以 P(x)=\frac{(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7)}{720}-2\frac{(x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7)}{120}+3\frac{(x - 1)(x - 2)(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7)}{48}-4\frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 5)(x - 6)(x - 7)}{36}+5\frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 6)(x - 7)}{48}-114514\frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 7)}{120}+7\frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6)}{720}