实变之一

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（闲的没事学什么实变闲的没事学什么实变？）

可能八月份就开始学实变了，现在都十一月份了，才学完。

xyz太笨了/kk

亿些铺垫

其实整本《实变函数》全是铺垫。

就最后一章是勒贝格积分，前面呢？

等势与基数

看陶哲轩的实分析是什么鬼畜行为？

如果两个集合间存在一个双射（1-1映射），就称这两个集合等势。

为什么要这样定义呢？是为了对集合有一个衡量。

必修一学集合的时候，我们都知道集合分有限集和无限集，有限集的数量被称之为基数，A的基数写作\#(A)

那么无限集是否有基数呢？

在实分析的定义里，无限集有基数，它的基数就定义在“等势”上。

关于基数，有以下几个定义：

若集合A和集合B等势，则A,B基数相等。

若集合A和集合B不等势，且A\subseteq B，那么\#(A)\le \#(B)

通过这些，我们就能知道一些比较显然的事实。

  1. 正整数集等势于正偶数集。

显然，构造一个双射f:N^+\to S（S是正偶数集），其中f(x)=2x即可。

显然，构造一个双射f:[0,1]\to R，其中f(x)=\tan(\pi x-\frac{\pi}{2})

可数集和不可数集

与N等势的集合被称为可数集。

反之，不与N等势的无限集就是不可数集。

一些显然的性质：

  1. 可数集的笛卡尔积仍是可数集。

用数学归纳法可证。

由这一条能证明，有理数集是可数集（\frac{p}{q}）。

一个推广是，集合A和子集的笛卡尔积A\times A是等势的。

所以显然的，R和R^n等势，这一点在点集拓扑里还可以继续讨论。

  1. 可数集的无限子集仍是可数集。

搞一个双射即可。

值得注意的是，这个子集还得是无限集。

  1. 可数集的可数并仍是可数集。

书上用排列证的，其实挺显然的，不想证了。

  1. 实数集是不可数集

显然。

  1. 可数集是基数最小的无限集

由性质23可说明，挺显然的。

可数集和不可数集的基数

刚刚说过，无限集也是有基数的。

由于可数集是基数最小的无限集，所以我们定义一个数\aleph_0，表示最小的无限基数，也就是可数集的基数。

我们可以定义\aleph_1为比\aleph_0大的最小基数，相似地，可以定义\aleph_2,\aleph_3等。

值得注意的是，无限集的基数，被称为“可数无穷多”，不是+\infty，但却比所有的所谓“大数”要大，你在知乎上看到的那些诸如葛立恒数，TREE(3)等大数，在\aleph_0 面前什么也不是。

接下来我们讨论实数集的基数：

首先，明确一个概念——幂集。

这个词是康托尔发明的，意思是集合所有子集组成的集合。

如果是有限集，显然一个基数为n的有限集的幂集的基数是2^n\ge n

如果是无限集，康托尔证明了，一个无限集的幂集的基数比这个无限集的基数大。

于是通过这个定理，我们就知道了基数的结构——我们从\aleph_0开始，通过幂集构造下一个基数，也就是\aleph_{i+1}

还有一个比较重要的事实，就是不存在最大的基数，知道了康托尔定理，通过反证法就可以很轻松地证明了。

接下来介绍一下连续统假设。

若把可数集合的基数记为\aleph_0，实数集基数记为c

连续统假设是说，不存在基数a，使得\aleph_0<a<c

换句话说，就是最小的基数是\aleph_0，其次是c，不存在他俩中间的基数。

如果承认连续统假设的话，显然，c就是\aleph_1=2^{\aleph_0}。

但是连续统假设是否正确，是一个很奇妙的事情，1938年哥德尔证明了连续统假设与ZFC系统（即集合论公理下的体系）不矛盾，1963年又证明了连续统假设和ZFC系统相互独立，这说明，在现行的体系下，我们无法证明连续统假设是否正确。

不过管那么多干嘛，我就承认连续统假设了，反正我要学的实变，又不是集合论。

下一个博客讲测度和外侧度，记得提醒我更新。