《高等数学》第一章第6节习题

1. 证明：任一奇数次实系数多项式至少有一个实根。 设为 $\displaystyle f( x) =a_{n} x^{n} +\cdots +a_{0} =x^{n}\left( a_{n} +\cdots +a_{0} x^{-n}\right)$ 且 $\displaystyle a_{n} \neq 0$，$\displaystyle n$ 为奇数，那么 $\displaystyle x\rightarrow \infty$ 时括号内的极限为 $\displaystyle a_{n}$，故有界。而 $\displaystyle x\rightarrow +\infty$ 时 $\displaystyle f( x)\rightarrow \operatorname{sgn} a_{n} \cdot \infty$，$\displaystyle x\rightarrow -\infty$ 时 $\displaystyle f( x)\rightarrow -\operatorname{sgn} a_{n} \cdot \infty$，因此根据介值定理，应该有 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f( \xi ) =0$。 2. 设 $\displaystyle \varepsilon \in ( 0,1)$，证明对任意 $\displaystyle y_{0} \in \mathbb{R}$，方程 $\displaystyle y_{0} =x-\varepsilon \sin x$ 有唯一解。 即证明 $\displaystyle x-\varepsilon \sin x$ 是一一映射，由连续性可知等价于严格单调。考虑任取 $\displaystyle x_{1} < x_{2}$，那么 $$ \begin{aligned} f( x_{2}) -f( x_{1}) & =x_{2} -x_{1} +2\varepsilon \cos\frac{x_{1} +x_{2}}{2}\sin\frac{x_{1} -x_{2}}{2}\\ \frac{f( x_{2}) -f( x_{1})}{x_{2} -x_{1}} & =1-\varepsilon \cdot \cos\frac{x_{1} +x_{2}}{2} \cdot \frac{\sin\frac{x_{1} -x_{2}}{2}}{\frac{x_{1} -x_{2}}{2}}\\ \left| \frac{\sin\frac{x_{1} -x_{2}}{2}}{\frac{x_{1} -x_{2}}{2}}\right| \cdot \left| \cos\frac{x_{1} +x_{2}}{2}\right| & < 1\quad ( |x_{1} -x_{2} |< \pi )\\ \frac{f( x_{2}) -f( x_{1})}{x_{2} -x_{1}} & >1-\varepsilon >0\quad ( x_{2} -x_{1} < \pi ) \end{aligned} $$ 因此，对任意 $\displaystyle 0< x_{2} -x_{1} < \pi$ 都有 $\displaystyle f( x_{1}) < f( x_{2})$，然后可以将 $\displaystyle < \pi$ 的条件去掉，说明 $\displaystyle f$ 单调。 4. 设 $\displaystyle y=f( x)$ 在 $\displaystyle [ 0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle 0\leq f( x) \leq 1,\forall x\in [ 0,1]$。证明在 $\displaystyle [ 0,1]$ 中存在一点 $\displaystyle t$ ，使得 $\displaystyle f( t) =t$ 考虑 $\displaystyle g( x) =f( x) -x$，其是连续函数，且 $\displaystyle g( 0) \in [ 0,1] ,g( 1) \in [ -1,0]$，说明 $\displaystyle g( 1) \leq 0\leq g( 0)$，由介值定理可得存在 $\displaystyle \xi \in [ 0,1]$ 使得 $\displaystyle g( \xi ) =0$，也就有 $\displaystyle f( \xi ) =\xi $，便是所求的 $\displaystyle t$。 5. 设 $\displaystyle y=f( x)$ 在 $\displaystyle [ 0,2]$ 上连续，且 $\displaystyle f( 0) =f( 2)$，证明在 $\displaystyle [ 0,2]$ 中存在两点 $\displaystyle x_{1} ,x_{2}$ 使得 $\displaystyle |x_{1} -x_{2} |=1,f( x_{1}) =f( x_{2})$。 考虑设 $\displaystyle g( x) =f( x+1) -f( x)$，由 $\displaystyle g( 0) +g( 1) =f( 2) -f( 0) =0$ 可知 $\displaystyle g( 0) ,g( 1)$ 在 $\displaystyle 0$ 的两侧，那么存在 $\displaystyle \xi \in [ 0,1]$ 使得 $\displaystyle g( \xi ) =0$，也就有 $\displaystyle f( \xi ) =f( \xi +1)$，也即所求的 $\displaystyle x_{1} ,x_{2}$。