圆锥曲线
_2eyks
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学习·文化课
如果少写了什么东西可以告诉我。
直线
直线与直线位置关系
假设两直线分别为 A_1x+B_1y+C_1=0,A_2x+B_2y+C_2=0。
（1）平行
（2）垂直
$k_1\times k_2=-1$，即 $\frac{A_1A_2}{B_1B_2}=-1$，即 $A_1A_2+B_1B_2=0$。
## 直线与直线的夹角
假设两直线分别为 $l_1:y=k_1x+b_1,l_2:y=k_2x+b_2$。
（1）直线夹角
$$\theta=\arctan\left(\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|\right)$$
证明：
根据基础知识，可以得到 $x$ 轴与 $l_1$ 的方向角 $\alpha=\arctan k_1$，与 $l_2$ 的方向角 $\beta=\arctan k_2$。
所以：
$$\theta=|\alpha-\beta|=\arctan(\tan(\alpha-\beta))$$
$$=\arctan\left(\frac{|\tan\alpha-\tan\beta|}{1+\tan\alpha\tan\beta}\right)$$
$$=\arctan\left(\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|\right)$$
（2）方向角
$$\theta=\arctan\left(\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right)$$
## 直线系
### 斜截式直线系
对于直线的斜截式方程 $y=kx+b$，当 $k,b$ 均为确定的数值时，它表示一条确定的直线。如果 $k,b$ 变化时，对应的直线也会变化。
- 当 $b$ 为定值，$k$ 变化时，表示过定点 $(0,b)$ 的直线束。
- 当 $k$ 为定值，$b$ 变化时，表示一组平行直线。
- 过定点 $(m,n)$ 的直线系为 $y=k(x-m)+n$。
### 一般式直线系
设 $l:Ax+By+C=0$，则
- 与 $l$ 平行的直线系为 $Ax+By+m=0$（$m\in\R,m\neq C$）。
- 与 $l$ 垂直的直线系为 $Bx-Ay+m=0$（$m\in\R$）。
- 过定点 $(m,n)$ 的直线系为 $A(x-m)+B(y-n)=0$。
- 过两条直线交点的直线系：
设 $l_1:A_1x+B_1y+C_1=0,l_2:A_2x+B_2y+C_2=0$，则过 $l_1,l_2$ 交点的直线系为
$$\lambda(A_1x+B_1y+C_1)+\mu(A_2x+B_2y+C_2)=0$$
其中 $\lambda,\mu\in\R$。可以类比平面向量来解释正确性。
## 距离公式
### 点到直线
设点 $P(x_0,y_0)$，直线 $l:Ax+By+C=0$，则 $P$ 到 $l$ 的距离为
$$\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
证明（向量法）：
由基础知识，可以得到 $l$ 的法向量是 $\vec{n}(A,B)$。
取直线与 $y$ 轴的交线 $Q(0,-\frac{C}{B})$，则 $\overrightarrow{QP}=(-x_0,-y_0-\frac{C}{B})$。
根据向量投影计算公式，$\overrightarrow{QP}$ 在法向量上的投影长度
$$d=\frac{|\overrightarrow{QP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|-Ax_0-By_0-C|}{|(A,B)|}=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
### 两平行直线
设 $l_1:A_1x+B_1y+C_1=0,l_2:A_2x+B_2y+C_2=0$，满足 $\frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2}$，则两直线距离为
$$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
感觉可以感性理解，不证了。
## 定比分点公式
已知坐标系上不同的两点坐标 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，且 $P$ 点满足 $\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}$，则 $P$ 的坐标为
$$(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda})$$
感觉可以感性理解，不证了。
## 三角形重心坐标公式
设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，则 $\Delta ABC$ 的重心坐标为
$$(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$$
我们初中就知道一个二级结论，重心是中线的三等分点。然后定比分点公式就能证明了。
## 对称问题
### 点关于直线
两对称点连线与对称轴垂直。
### 直线关于直线
如果两对称直线平行，则对称轴也与它们平行。
如果两对称直线相交，则对称轴为其角平分线。
### 直线关于点
两对称直线一定平行，且对称点与两条直线距离相等。
### 一般图像的对称
- 图像 $f(x,y)=0$ 关于直线 $y=x+b$ 对称的曲线方程为 $f(y-b, x+b)=0$（即 $x$ 与 $y$ 互换并调整）。
- 图像 $f(x,y)=0$ 关于点 $(a,b)$ 对称的曲线方程为 $f(2a-x,\,2b-y)=0$。
# 圆
## 圆的方程
### 标准方程
$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$
圆心在 $(x_0,y_0)$，半径为 $r$。
### 一般方程
$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$$
如果一般方程对应的圆存在，可以通过配方法，将一般方程变成标准方程。
- 当 $D^2+E^2-4F>0$，则该方程对应一个圆，圆心为 $(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$，半径 $r=\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}$。
- 当 $D^2+E^2-4F=0$，对应一个点，点为 $(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$。
- 当 $D^2+E^2-4F<0$，图像不存在。
### 参数方程
$$\begin{cases} x = a + r\cos\theta \\ y = b + r\sin\theta \end{cases}$$
其中 $\theta$ 为参数。
### 直径方程
已知圆的一条直径为 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则圆的方程为
$$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$$
## 圆相关位置关系
### 点和圆
令点为 $(x_0,y_0)$，圆为 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
- 点在圆内：$(x_0-a)^2+(y_0-b)^2<r^2$。
- 点在圆上：$(x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2$。
- 点在圆外：$(x_0-a)^2+(y_0-b)^2>r^2$。
### 直线和圆
令圆的半径为 $r$，直线到圆心的距离为 $d$，则
- 直线与圆相交：$d<r$。
- 直线与圆相切：$d=r$。
- 直线与圆相离：$d>r$。
### 圆和圆
令两圆半径分别为 $r_1,r_2$，圆心距离为 $d$，则
- 包含：$d<|r_1-r_2|$。
- 内切：$d=|r_1-r_2|$。
- 相交：$|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$。
- 外切：$d=r_1+r_2$。
- 相离：$d>r_1+r_2$。
## 两圆的公切线
- 包含：$0$ 条。
- 内切：$1$ 条。
- 相交：$2$ 条。
- 外切：$3$ 条。
- 相离：$4$ 条。
求公切线方程：先判断两圆的关系，然后联立或数形结合求切点来做。
## 两圆的公共弦方程
如果两圆相交，且两圆方程分别为 $C_1:x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0$，$C_2:x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0$，则 $C_1,C_2$ 的公共弦为
$$(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0$$
这个就是两个圆方程相减的结果，因为公共弦的两个端点就是两个圆的交点。
## 圆的切线方程
### 固定斜率
圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 的斜率为 $k$ 的切线方程为
$$(y-b)=k(x-a)\pm r\sqrt{1+k^2}$$
证明（以 $a=b=0$ 为例，非零的情况只是平移一下罢了）：
已知圆的方程为 $x^2+y^2=r^2$，我们需要找到一条斜率为 $k$ 的直线与之相切，则这条直线与圆心距离恰好为 $r$。
假设这条切线为 $y=kx+m$，即 $kx-y+m=0$，则
$$r=\frac{|k\times0-0+m|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|m|}{\sqrt{k^2+1}}$$
所以 $m=\pm r\sqrt{1+k^2}$，即证。
### 过圆上一点
圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 的过定点 $P(x_0,y_0)$ 的切线方程为
$$(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$$
证明：
设圆心为 $C$，任取切线上一点 $Q(x,y)$，则 $\overrightarrow{PQ}=(x-x_0,y-y_0),\overrightarrow{CP}=(x_0-a,y_0-b)$，根据 $\overrightarrow{PQ}\perp\overrightarrow{CP}$，得到
$$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{CP}=(x-x_0)(x_0-a)+(y-y_0)(y_0-b)=0$$
$$(x-a+a-x_0)(x_0-a)+(y-b+b-y_0)(y_0-b)=0$$
$$(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)-(x_0-a)^2-(y_0-b)^2=0$$
$$(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$$
即证。
把圆改成一般方程：圆 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 的过定点 $P(x_0,y_0)$ 的切线方程为
$$x_0x+y_0y+D\frac{x_0+x}{2}+E\frac{y_0+y}{2}+F=0$$
### 过圆外一点
切线过点 $P(x_0,y_0)$，则设切线为 $y-y_0=k(x-x_0)$（特判 $k$ 不存在），然后根据点到直线距离等于 $r$ 解方程。
## 圆的切点弦方程
定点 $P(x_0,y_0)$ 在圆 $x^2+y^2=r^2$ 上的两条切线在圆上的切点所构成的弦为
$$x_0x+y_0y=r^2$$
证明：
假设两个切点分别为 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则两条切线为 $x_1x+y_1y=r^2,x_2x+y_2y=r^2$。由于这两条线过 $P$，代入坐标并联立
$$\begin{cases}x_0x_1+y_0y_1=r^2\\x_0x_2+y_0y_2=r^2\end{cases}$$
得到切线为
$$x_0x+y_0y=r^2$$
# 椭圆
## 椭圆方程
### 标准方程
焦点在 $x$ 轴上：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
其中：
- $2a$ 为椭圆的**长轴**长度。
- $2b$ 为**短轴长度**（$a>b$）。
- $2c$ 为**焦距**。
- 椭圆的两个焦点分别为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$。
- 椭圆上任意一点 $P$ 到 $F_1,F_2$ 的**距离之和**等于 $2a$。
取椭圆上点 $P(0,b)$，得到一个直角三角形 $\Delta POF_1$，其中 $PF=a,PO=b,FO=c$。根据勾股定理，$a^2=b^2+c^2
焦点在 y 轴上：
\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1
参数方程
\begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}
椭圆的离心率
定义一个椭圆的离心率为
e=\frac{c}{a}\in(0,1)
椭圆离心率范围
- 椭圆上一点 P 到原点距离的范围：[b,a]。
- 椭圆上一点 P 到某个焦点距离的范围：[a-c,a+c]。
双曲线
双曲线方程
焦点在 x 轴上：
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
其中：
-
-
-
- 双曲线的两个焦点分别为 F_1(-c,0),F_2(c,0)。
- 椭圆上任意一点 P 到 F_1,F_2 的距离之差等于 2a。
焦点在 $y$ 轴上：
$$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$$
## 双曲线的离心率
定义一个双曲线的离心率为
$$e=\frac{c}{a}\in(1,+\infty)$$
## 双曲线的渐近线
$$y=\pm\frac{b}{a}x$$
双曲线在 $x\to\pm\infty$ 时，图像与渐近线贴合。
## 等轴双曲线
$a=b$ 的双曲线。
等轴双曲线的两条渐近线垂直。
## 共轭双曲线
$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的共轭双曲线为 $C':\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$。
$C,C'$ 共用同一组渐近线。
# 抛物线
## 抛物线方程
|开口方向|右 |左 |上 |下 |
|:--:|:--------:|:--------:|:--------:|:--------:|
|解析式 |$y^2=2px$ |$y^2=-2px$|$x^2=2py$ |$x^2=-2py$|
|焦点 |$(\frac{p}{2},0)$|$(-\frac{p}{2},0)$|$(0,\frac{p}{2})$|$(0,-\frac{p}{2})$|
|准线 |$x=-\frac{p}{2}$|$x=\frac{p}{2}$|$y=-\frac{p}{2}$|$y=\frac{p}{2}$|
- $2p$ 为焦点到准线的距离。
- 任意取抛物线上一点 $P$，则 $P$ 到焦点的距离等于 $P$ 到准线的距离。
## 第二定义
圆锥曲线图像上的一个动点 $P(x_0,y_0)$ 到某个焦点 $F$ 的距离和到 $F$ 对应的准线 $l$ 的距离成比例，即
$$\frac{|PF|}{d(P,l)}=e$$
三种圆锥曲线满足以下条件：
|曲线类型|离心率 $e$ 的范围|准线|
|:-:|:-:|:-:|
|椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$|$(0,1)$|$x=\pm\frac{a^2}{c}$|
|双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$|$(1,+\infty)$|$x=\pm\frac{a^2}{c}$|
|抛物线 $y^2=2px$|$=1$|$x=-\frac{p}{2}$|
可以推导出焦半径公式：
$$|PF_1|=a-ex_0,|PF_2|=a+ex_0$$
证明（以 $|PF_1|$ 公式为例）：
根据第二定义，$|PF_1|=e(d(P,l))=e(\frac{a^2}{c}-x_0)=a-ex_0$。
## 第三定义
椭圆或双曲线上，任意一个非顶点的动点 $P(x_0,y_0)$ 到两个顶点 $A(-a,0),B(a,0)$ 的直线斜率乘积为定值。
证明（椭圆）：
$$
\begin{align*}
k_{PA}\cdot k_{PB}&=\frac{y_0}{x_0+a}\times\frac{y_0}{x_0-a}\\
&=\frac{y_0^2}{x_0^2-a^2}\\
&=\frac{b^2(1-\frac{x_0^2}{a^2})}{x_0^2-a^2}（联立椭圆方程）\\
&=\frac{b^2(a^2-x_0^2)}{a(x_0^2-a^2)}\\
&=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1\in(-1,0)
\end{align*}
$$
双曲线结论证明类似，结果也为 $k_{PA}\cdot k_{PB}=e^2-1\in(0,+\infty)$。
若动点满足到两个定点的斜率积为常数，则动点轨迹为椭圆或双曲线。
## 中点弦与点差法
设 $AB$ 为圆锥曲线的一条弦，$M(x_0,y_0)$ 为 $AB$ 中点，则有如下关系。
|曲线类型|$k_{AB}$ 与 $M$ 的性质|
|:-:|:-:|
|椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$|$k_{AB}\cdot k_{OM}=e^2-1$|
|双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$|^ |
|抛物线 $y^2=2px$|$k_{AB}\cdot y_0=p$|
证明思路（**点差法**）：把 $A,B$ 坐标代入曲线方程后，作差，得到弦斜率与中点坐标的关系。
证明：
将 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 坐标代入椭圆方程后做差，得到
$$
\begin{align*}
\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}+\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}&=0\\
\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{a^2}+\frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{b^2}&=0\\
\frac{2x_0(x_1-x_2)}{a^2}+\frac{2y_0(y_1-y_2)}{b^2}&=0\\
\frac{1}{x_1-x_2}(\frac{2x_0(x_1-x_2)}{a^2}+\frac{2y_0(y_1-y_2)}{b^2})&=0\\
\frac{2x_0}{a^2}+k_{AB}\frac{2y_0}{b^2}&=0\\
k_{AB}\frac{2y_0}{2x_0}&=-\frac{b^2}{a^2}\\
k_{AB}\cdot k_{OM}&=-\frac{b^2}{a^2}\\
&=e^2-1
\end{align*}
$$
## 焦点三角形的面积
在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上有一动点 $P$，令椭圆左右焦点分别为 $F_1,F_2$，且 $\angle F_1PF_2=\theta$，则
$$S_{\Delta F_1PF_2}=b^2\tan\frac{\theta}{2}$$
证明：
令 $|PF_1|=m,|PF_2|=n$。
根据余弦定理，
$$
\begin{align*}
|F_1F_2|^2&=m^2+n^2-2mn\cos\theta\\
4c^2&=(m+n)^2-2mn-2mn\cos\theta\\
4c^2&=4a^2-2mn(1+\cos\theta)\\
2b^2&=mn(1+\cos\theta)
\end{align*}
$$
据 $S=\frac{1}{2}mn\sin\theta$，有
$$
\begin{align*}
2b^2&=\frac{2S}{\sin\theta}(1+\cos\theta)\\
S&=b^2\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\\
S&=b^2\frac{\frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}}{1+\frac{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}{1+\tan^2\frac{\theta}{2}}}（万能公式）\\
S&=b^2\tan\frac{\theta}{2}
\end{align*}
$$
同理，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的焦点三角形面积为
$$S=b^2\cot\frac{\theta}{2}$$
## 焦点三角形内心轨迹
### 椭圆
焦点三角形 $\Delta F_1PF_2$ 的内切圆圆心轨迹仍是一个椭圆。
证明：
令 $m=|F_1P|,n=|F_2P|$，内心为 $I(x_1,y_1)$，动点 $P(x_0,y_0)$。
>三角形内心公式：
>
>$$(\frac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c},\frac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c})$$
套内心公式，可以得到 $\Delta F_1PF_2$ 的内心为
$$(\frac{2cx_0+mc-nc}{2c+m+n},\frac{2cy_0+0+0}{2c+m+n})$$
横坐标不好直接用公式处理，但纵坐标计算不难，等于 $\frac{2cy_0}{2c+2a}=\frac{cy_0}{a+c}$。
考虑单独计算横坐标。其等于内切圆在 $F_1F_2$ 的切点 $T$ 的横坐标。有
$$
\begin{align*}
|F_1T|&=\frac{|F_1T|+(m-|F_1T|)+|F_1T|+(2c-|F_1T|)-(m-|F_1T|)-(2c-|F_1T|)}{2}\\
&=\frac{m+2c-n}{2}
\end{align*}
$$
又因为
$$|F_1T|=x_T+c$$
故 $2(x_T+c)=m+2c-n\Rightarrow2x_T=m-n$。
至此，
$$
\begin{cases}
m+n=2a\\
m-n=2x_T\\
m^2-n^2=(x_T-c)^2+y_T-[(x_T+c)^2+y_T]=4cx_T
\end{cases}
$$
解得 $x_1=x_T=\frac{c}{a}x_0$。
至此，$I(\frac{cx_0}{a},\frac{cy_0}{a+c})$。但我们需要将 $P$ 代入到椭圆方程，所以需要得到 $P$ 坐标用 $x_1,y_1$ 表示的形式。根据 $I(x_1,y_1)$，得到 $P(\frac{ax_1}{c},\frac{(a+c)y_1}{c})$。
将其代入椭圆方程，得到
$$
\begin{align*}
\frac{(\frac{ax_1}{c})^2}{x^2}+\frac{(\frac{(a+c)y_1}{c})^2}{y^2}&=1\\
\frac{x^2}{c^2}+\frac{(a+c)^2}{c^2b^2}y^2&=1\\
\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{(\frac{cb}{a+c})^2}&=1
\end{align*}
$$
即证 $I$ 的轨迹为一个新的椭圆。
### 双曲线
双曲线：焦点三角形 $\Delta F_1PF_2$ 的内切圆圆心落在 $x=\pm a$ 上。这一结论在求双曲线离心率范围时常用。
证明：
依然设 $m=|F_1P|,n=|F_2P|$，内心 $I(x_1,y_1)$，圆在 $F_1F_2$ 的切点为 $T$。
若 $P$ 在左支，类似椭圆证明，$|F_1T|=x_1+c=\frac{2c+m-n}{2}=c-a$，得 $x_1=-a$。$P$ 在右支得 $x_1=a$。即证。
## 焦半径的倾角式
以圆锥曲线的一个焦点 $F$ 为极点，以对称轴为极轴（通常指向曲线的开口方向或长轴端点方向），则圆锥曲线上任意一点 $P$ 到该焦点的距离为
$$|PF|=\frac{et}{1\pm e\cos\theta}$$
其中 $\theta$ 为 $PF$ 与对称轴的夹角（如果 $P$ 在 $F$ 左边，则该角为钝角），$t$ 为焦准距（焦点到准线的最短距离）。
根据第二定义：
|曲线类型|准线|焦准距|
|:-:|:-:|:-:|
|椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$|$x=\pm\frac{a^2}{c}$|$\frac{a^2}{c}-c=\frac{b^2}{c}$|
|抛物线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$|^|^|
|双曲线 $y^2=2px$|$x=-\frac{p}{2}$|$p$|
证明：
由第二定义，$P$ 到焦点距离与 $P$ 到准线距离之比为 $e$，即 $\frac{|PF|}{d(P,l)}=e$。
假设 $F$ 是离 $P$ 更近的焦点，画图可以看出 $d(P,l)=t+|PF|\cos\theta$，联立可得 $|PF|=\frac{et}{1+e\cos\theta}$，即证。
如果是更远的那个焦点，$|PF|=\frac{et}{1-e\cos\theta}$。
## 定比分点关系
设 $\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{FB}$（即 $F$ 分 $AB$ 所成比为 $\lambda$），则：
$$e\cos\theta=\frac{\lambda-1}{\lambda+1}$$
证明：
假设 $\lambda<1$，则 $A$ 为靠近 $F$ 的点。令 $\theta$ 为 $AF$ 与 $x$ 轴的夹角（正负性与上一部分类似）。
由题可得
$$
\begin{align*}
|AF|&=\lambda|FB|\\
\frac{et}{1-e\cos\theta}&=\lambda\frac{et}{1+e\cos\theta}\\
1+e\cos\theta&=\lambda(1-e\cos\theta)\\
1+e\cos\theta&=\lambda-\lambda e\cos\theta\\
e(1+\lambda)\cos\theta&=\lambda-1\\
e\cos\theta&=\frac{\lambda-1}{\lambda+1}
\end{align*}
$$
即证。
## 焦点弦长公式
### 椭圆、双曲线
过焦点 $F$ 的弦 $AB$ 与对称轴夹角为 $\theta$，则
$$|AB|=\frac{2ab^2}{a^2-c^2\cos^2\theta}$$
证明：
假设 $\lambda>1$，则 $A$ 为靠近 $F$ 的点。令 $\theta$ 为 $AF$ 与 $x$ 轴的夹角（正负性与上一部分类似）。
可得 $|AF|=\frac{et}{1-e\cos\theta},|BF|=\frac{et}{1+e\cos\theta}$，则
$$
\begin{align*}
|AB|&=|AF|+|BF|\\
&=\frac{2et}{1-e^2\cos^2\theta}\\
&=\frac{2\cdot\frac{b^2}{a}}{1-\frac{c^2}{a^2}\cos^2\theta}\\
&=\frac{2ab^2}{a^2-c^2\cos^2\theta}
\end{align*}
$$
即证。
### 抛物线
令抛物线 $y^2=2px$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 的直线与抛物线交于 $A,B$ 两点，该直线与 $x$ 轴夹角为 $\theta$，则
$$|AB|=\frac{2p}{\sin\theta}$$
证明：
由抛物线定义
$$
\begin{align*}
|AB|&=|AF|+|BF|\\
&=\frac{p}{1-\cos\theta}+\frac{p}{1+\cos\theta}\\
&=\frac{2p}{1-\cos^2\theta}\\
&=\frac{2p}{\sin^2\theta}
\end{align*}
$$
即证。
## 抛物线焦点弦五大结论
令抛物线 $y^2=2px$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 的直线与抛物线交于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点，该直线与 $x$ 轴夹角为 $\theta$，则
（1）
$$y_1\cdot y_2=-p^2$$
证明：
联立 $\begin{cases}y^2=2px\\y=k(x-\frac{p}{2})\end{cases}$ 得到 $\begin{cases}x=\frac{y^2}{2p}\\y=k(\frac{y^2}{2p}-\frac{p}{2})\end{cases}$，展开下式得到 $ky^2-2py-kp^2=0$，韦达定理得到 $y_1\cdot y_2=-p^2$。
（2）
$$x_1\cdot x_2=\frac{p^2}{4}$$
证明：
联立 $\begin{cases}y^2=2px\\y=k(x-\frac{p}{2})\end{cases}$ 得到 $\begin{cases}y=k(x-\frac{p}{2})\\k^2(x-\frac{p}{2})^2=2px\end{cases}$，展开下式得到 $k^2x^2-(k^2+2)px+\frac{k^2p^2}{4}$，韦达定理得到 $x_1\cdot x_2=\frac{p^2}{4}$。
（3）
$$|AB|=x_1+x_2+p=\frac{2p}{\sin^2\theta}$$
证明：
$|AB|=|AF|+|BF|=d(A,l)+d(B,l)$，计算可得 $=x_1+x_2+p$。
至于 $|AB|=\frac{2p}{\sin^2\theta}$，上面证过了。
（4）
$$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}$$
证明：
由焦半径的倾角式，$|AF|=\frac{p}{1-\cos\theta},|BF|=\frac{p}{1+\cos\theta}$。
故 $\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{1-\cos\theta+1+\cos\theta}{p}=\frac{2}{p}$。
（5）
以 $AB$ 为直径的圆，与抛物线的准线相切。
证明：
利用相似比，圆心到准线的距离$=\frac{|d(A,l)+d(B,l)|}{2}=\frac{|AF|+|BF|}{2}$，这恰好等于半径，所以圆与准线相切。
## 斜率固定的切线方程
若已知切线斜率为 $k$，可设切线方程为 $y = kx + m$，与曲线联立，利用判别式 $\Delta = 0$ 解出 $m$。
|曲线|$k$|
|---|---|
|$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$|$y = kx \pm \sqrt{a^2k^2 + b^2}$|
|$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$|$y = kx \pm \sqrt{a^2k^2 - b^2}$|
|$y^2 = 2px$|$y = kx + \frac{p}{2k}$|
注意：双曲线的切线只有当 $|k| > b/a$（即 $a^2k^2 - b^2 > 0$）时才存在。这一条件的几何含义是切线斜率必须大于渐近线斜率。
证明（椭圆）：
将 $y=kx+m$ 代入 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，得到
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(kx+m)^2}{b^2}=1$$
整理得到
$$(\frac{1}{a^2}+\frac{k^2}{b^2})x^2+\frac{2km}{b^2}x+(\frac{m^2}{b^2}-1)=0$$
该方程的 $\Delta=0$，得到 $m^2=b^2+a^2k^2$，即 $m=\pm\sqrt{a^2k^2+b^2}$。
双曲线、抛物线的证明过程类似。
## 替换法则
对二次曲线，将方程中的各项按下列规则替换，即可写出 $P(x_0,y_0)$ 为相关点的直线方程（这个**只能当二级结论用**，考场上要老老实实地联立推导）：
|原项|替换为|
|:-:|:-:|
|$x^2$|$x_0x$|
|$y^2$|$y_0y$|
|$x$|$\frac{x_0+x}{2}$|
|$y$|$\frac{y_0+y}{2}$|
|$xy$|$\frac{x_0y+y_0x}{2}$|
$P$ 点相对于曲线的位置不同，用替换法则得到的直线也有不同的几何意义：
|$P$ 与曲线的位置关系|得到的直线|几何意义|
|:-:|:-:|:-:|
|$P$ 在曲线上|切线方程|以 $P$ 为切点的切线|
|$P$ 在曲线外|切点弦方程|过 $P$ 作两切线的切点连线|
|$P$ 在曲线内|极线方程|-|
## 极点与极线
我们把替换法则得到的直线统称为**极线**，$P$ 为该极线的**极点**。
**配极原则**（非常重要）：若点 $Q$ 在 $P$ 的极线上，则 $P$ 也在 $Q$ 的极线上。
证明：
以椭圆为例，假设 $P(x_0,y_0)$ 的极线为 $l_P:\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$，$Q(x_1,y_1)$ 的极线为 $l_Q:\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1$。
由于 $Q$ 过 $l_P$，故 $\frac{x_0x_1}{a^2}+\frac{y_0y_1}{b^2}=1$。
显然，将 $(x_0,y_0)$ 代入 $l_Q$，等式也是成立的。所以配极原则成立。
常见极点极线特例：
|极点|极线|
|:-:|:-:|
|椭圆或双曲线的焦点 $F(c,0)$|对应准线 $x=\frac{a^2}{c}$|
|抛物线焦点|抛物线准线|
焦点与准线的关系本质上就是极点极线关系，这也解释了第二定义中为什么 $e$ 的关系式在三种曲线中都成立。
## 高考实用提示
大量"过定点"或"点在定直线上"的题目，其命题背景就是极点极线。解题时：
1. 识别题目中的"定点"往往是某个点的极线与某条直线的交点
2. 配极原则可以将"点在某线上"等价转化为"线过某点"，效果是交换计算对象
3. 解答过程需要严格书写（极点极线是背景，步骤要用韦达定理展开），但知道结论可以快速检验答案
## 蒙日圆
平面上有一椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。若过椭圆外一动点 $P$ 的关于 $C$ 的两条切线垂直，则 $P$ 的轨迹是一个圆，称为蒙日圆。该圆的方程为 $x^2+y^2=a^2+b^2$。
证明：
我们已经知道，斜率为 $k$ 的关于 $C$ 的切线，对应的直线方程为 $y=kx\pm\sqrt{a^2k^2+b^2}$。
垂直就相当于斜率之积为 $-1$。令过 $P$ 的两条切线的斜率分别为 $k,-\frac{1}{k}$。
令 $m_1=\pm\sqrt{a^2k^2+b^2},m_2=\pm\sqrt{\frac{a^2}{k^2}+b^2}$，两个 $\pm$ 的正负性选取相互独立。
故过 $P$ 的两条切线方程为 $y=kx+m_1,y=-\frac{1}{k}x+m_2$。
令 $P(x_0,y_0)$，则
$$\begin{align*}
y_0=kx_0+m_1&=-\frac{1}{k}x_0+m_2\\
(k+\frac{1}{k})x_0&=m_2-m_1\\
x&=\frac{k(m_2-m_1)}{k^2+1}
\end{align*}$$
将上式代入 $y=kx+m_1$，得
$$\begin{align*}
y&=\frac{k^2(m_2-m_1)}{k^2+1}+m_1\\
&=\frac{k^2m_2+m_1}{k^2+1}
\end{align*}$$
故
$$\begin{align*}
x^2+y^2&=\frac{k^2(m_2-m_1)^2+(k^2m_2+m_1)^2}{(k^2+1)^2}\\
&=\frac{k^2m_2^2-2k^2m_1m_2+k^2m_1^2+k^4m_2^2+2k^2m_1m_2+m_1^2}{(k^2+1)^2}\\
&=\frac{k^2m_2^2(k^2+1)+m_1^2(k^2+1)}{(k^2+1)^2}\\
&=\frac{k^2m_2^2+m_1^2}{k^2+1}\\
&=\frac{k^2(\frac{a^2}{k^2}+b^2)+(a^2k^2+b^2)}{k^2+1}\\
&=\frac{a^2(k^2+1)+b^2(k^2+1)}{k^2+1}\\
&=a^2+b^2
\end{align*}$$
即证。
三种曲线对应 $P$ 的轨迹如下：
|曲线|垂直切线交点的轨迹|备注|
|---|---|---|
|椭圆|$x^2+y^2 = a^2+b^2$|轨迹恒存在|
|双曲线|$x^2+y^2 = a^2-b^2$|若轨迹存在，需满足 $a>b$|
|抛物线|$x=-\frac{p}{2}$|与准线重合|
对于双曲线和抛物线，证明思路相同。
## 阿波罗尼斯圆
平面上有两个不同的定点 $A,B$。若动点 $P$ 分别到 $A,B$ 的距离之比为 $k(k\neq1)$，则 $P$ 的轨迹是一个圆，称为阿波罗尼斯圆。
证明：
已知 $\frac{|PA|}{|PB|}=k$。
令 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),P(x_0,y_0)$，则
$$\begin{align*}
\frac{\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}}{\sqrt{(x_2-x_0)^2+(y_2-y_0)^2}}&=k\\
\frac{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}{(x_2-x_0)^2+(y_2-y_0)^2}&=k^2
\end{align*}$$
直接算太蠢了，考虑重新建系，让 $l_{AB}$ 与新的 $x$ 轴重合。那就只需要证明 $A(0,0),B(t,0)$ 的情况了。
$$\begin{align*}
\frac{x_0^2+y_0^2}{(x_0-t)^2+y_0^2}&=k^2\\
x_0^2+y_0^2&=k^2x_0^2-2k^2tx_0+k^2t^2+k^2y_0^2\\
(1-k^2)x_0^2+2k^2tx_0+(1-k^2)y_0^2&=k^2t^2\\
x_0^2+\frac{2k^2t}{1-k^2}x_0+y_0^2-\frac{k^2t^2}{1-k^2}&=0\\
\left(x_0+\frac{k^2t}{1-k^2}\right)^2+y_0^2&=\frac{k^2t^2}{(1-k^2)^2}
\end{align*}$$
即证。该圆的圆心为 $\left(-\frac{k^2t}{1-k^2},0\right)$，半径为 $\frac{kt}{|1-k^2|}$。
## 光学性质
从焦点射出的光线，经过圆锥曲线时形成反射，反射光线具有如下性质：
| 类型 | 性质 |
|:-:|:-:|
| 椭圆 | 反射光线经过另一焦点 |
| 双曲线 | 反射光线的反向延长线经过另一焦点 |
| 抛物线 | 反射光线平行于某一坐标轴 |
对于圆锥曲线上的一点 $P$，如果知道过 $P$ 的切线 $l$，则：
- 若为椭圆，$\angle F_1PF_2$ 的角平分线垂直于 $l$。
- 若为双曲线，$\angle F_1PF_2$ 的角平分线为 $l$。
- 若为抛物线，与坐标轴平行的直线与 $PF$ 的夹角的角平分线垂直于 $l$。