初赛杂题笔记

记录一些初赛卷中的题目。（有些题目选项略去） - 一个圆形水池中等概率分布着四只鸭子，那么存在一条直径，使鸭子都在直径一侧的概率是（$\dfrac{1}{2}$）。 [这里](https://www.bilibili.com/read/cv5983568)的解释较为详尽，可以参考。 另外也可以通过计算积分式： $$ \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}(\frac{x}{2\pi}\times \frac{2\pi-x}{2\pi}+\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi-x}\frac{2\pi-x-y}{2\pi}\ \mathrm{d}y)\ \mathrm{d}x $$ 求出答案为 $\dfrac{1}{2}$。 - 与 $\sum\limits_{i=0}^{10} \dbinom{15+i-1}{i}$ 相等的是（$\dbinom{25}{10}$） 原式等于下面的左式，然后利用一个组合恒等式推出右式。 $$ \sum\limits_{i=0}^{10} \dbinom{14+i}{14}=\dbinom{24+1}{14+1} $$ 其中，左式的意义是**在前 $14+i$ 个物品中选取 $14$ 个的方案数**。那么我们对每个 $i$，在它后面**再选取一个物品**作为最后一个物品。 可以发现，两种取法一一对应，又因为第二种取法相当于在 $24+1$ 个物品里取 $14+1$ 个，因此可以推出上式。 因此由 $\dbinom{25}{15}=\dbinom{25}{10}$ 可得答案。 - 现在有 $20$ 个人约定一起玩一局游戏。但是因为可能要补作业，所以每个人有 $\dfrac{1}{2}$ 的概率最终参加。 他们认为一局游戏的有趣程度为参加人数的平方，则游戏有趣程度的期望是多少？ 答案为： $$ \dfrac{\sum_{i=0}^n i^2\dbinom{n}{i}}{2^n} $$ 但是我们发现这个二次项非常的难拆。注意到组合恒等式 $$ \binom{a}{b}\binom{b}{c}=\binom{a}{c}\binom{a-c}{b-c} $$ 可以考虑把 $i^2$ 拆成组合数的形式。经尝试有：$i^2=2\dbinom{i}{2}+\dbinom{i}{1}$，因此原式等于 $$ \dfrac{\sum_{i=0}^n 2\dbinom{i}{2}\dbinom{n}{i}+\dbinom{i}{1}\dbinom{n}{i}}{2^n} $$ $$ =\dfrac{2\sum_{i=0}^n \dbinom{n}{2}\dbinom{n-2}{i-2}+\sum_{i=0}^n \dbinom{n}{2}\dbinom{n-2}{i-2}}{2^n} $$ 注意到 $$ \sum_{i=0}^n\dbinom{n-k}{i-k}=\sum_{i=0}^{n-k}\dbinom{n-k}{i}=2^{n-k} $$ 因此原式即为 $$ \dfrac{2\dbinom{n}{2}2^{n-2}+\dbinom{n}{1}2^{n-1}}{2^n}=\dfrac{n^2+n}{4} $$ 代入 $n=20$ 可得答案为 $105$。 - 一位妈妈生了 n 胞胎,这 n 个孩子长得非常相似,让人无法辨认。一 天晚上,妈妈要给这 n 个孩子洗澡。妈妈每次从孩子中抓出一个洗澡,洗完后又 把他放回孩子之中,如此重复 n 次。问题:若 n=10,则在所有的可能中,恰好 只有三个孩子没有洗澡的可能性约为 A.14% B.36% C.31% D.17%