人教版数学选修二知识点整理

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第四章 数列

4.1 数列的概念

  1. 定义：按一定顺序排列的一列数，记作 \{a_n\}
  2. 项与通项：第 n 项 a_n 称为通项，a_1 为首项
  3. 通项公式：a_n = f(n)（如 a_n = 2n+1）
  4. 递推公式：用前一项定义后一项（如 a_{n+1} = a_n + d）
  5. 分类：
    • 按项数：有穷数列 / 无穷数列
    • 按增减性：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列

4.2 等差数列

  1. 定义：相邻两项的差为常数 d（公差），即 a_{n+1} - a_n = d
  2. 通项公式： a_n = a_1 + (n-1)d
  3. 前 n 项和： S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d
  4. 等差中项：若 a, A, b 成等差，则 A = \frac{a+b}{2}

4.3 等比数列

  1. 定义：相邻两项的比为常数 q（公比），即 \frac{a_{n+1}}{a_n} = q \ (q \neq 0)
  2. 通项公式： a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
  3. 前 n 项和： na_1 & (q=1) \\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} & (q \neq 1) \end{cases}
  4. 等比中项：若 a, G, b 成等比，则 G = \pm\sqrt{ab}

4.4* 数学归纳法

  1. 步骤：
    • 基例：验证 n = n_0 时命题成立
    • 归纳假设：假设 n = k 时命题成立
    • 归纳递推：证明 n = k+1 时命题成立
  2. 应用：证明与正整数相关的命题（如数列通项公式）

第五章 一元函数的导数及其应用

5.1 导数的概念及其意义

  1. 平均变化率： \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1}
  2. 瞬时变化率（导数）： f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
  3. 几何意义：曲线 y=f(x) 在点 P(x_0, f(x_0)) 处的切线斜率
  4. 物理意义：瞬时速度 v(t) = s'(t)，瞬时加速度 a(t) = v'(t)

5.2 导数的运算

  1. 基本导数公式：

    • (C)' = 0
    • (x^n)' = nx^{n-1}
    • (\sin x)' = \cos x,\ (\cos x)' = -\sin x
    • (e^x)' = e^x,\ (\ln x)' = \frac{1}{x}

  2. 四则运算法则：

    • [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)
    • [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
    • \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

  3. 复合函数求导（链式法则）：

    \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

5.3 导数在研究函数中的应用

  1. 单调性判断：

  2. 极值与最值：

    • 极值必要条件：若 f(x) 在 x_0 处可导且取极值，则 f'(x_0) = 0
    • 极值充分条件：导数在 x_0 两侧符号相反
    • 最值求法：比较区间端点与极值点的函数值

  3. 实际应用：优化问题（如最大利润、最小成本）