时光里的卡牌-题解
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题解
设 \{pool_i\} 是当前的卡牌数字集,设从中抽取一张卡牌的到的值这个离散型随机变量为 X。
其有 n 张卡牌，从中抽出一张的期望为
E(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}pool_i
对于每次抽取，若还有添加入的卡牌，下一次抽取的期望变为
E(X')=\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}pool_i-E(X)+add)
若没有新添加入的卡牌，则下一次抽取的期望变成
E(X')=\frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n} pool_i-E(X))
每一次抽取，手上的牌的期望点数增加当前抽取的期望，答案累加一次手上的牌经过抽取后累加的期望点数
推导：
已知现在的期望，现在等概率的从中抽出一张，求之后所有可能情况的总期望。
现在已知现在的期望
E(X)= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}a_i
对于每一种等概率的可能的抽取，都将其能得到的下一步期望与到达这种情况的概率相乘，累计所有情况的求和，得到下一步的总期望:
E(X')=\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}[(\sum_{i=1}^{n}a_i)-a_j+add ]
第一个\frac{1}{n}为到达每种可能情况的概率，在其之后是每种可能到达情况的期望。
尝试进行化简。先提取求和符号中的\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}出来。
得到
E(X')=\frac{1}{n^2}\sum_{j=1}^{n}\left[(\sum_{i=1}^{n}a_i)-a_j+add \right] \\
再将 add 项提取出来
得到
E(X')=\frac{1}{n^2} \cdot\sum_{j=1}^{n}\left[(\sum_{i=1}^{n}a_i)-a_j \right] + \frac{1}{n} \cdot add
继续提出 a_j，得到
\begin {align*}
E(X')&=\frac{1}{n^2} \cdot\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}a_i - \frac{1}{n^2} \cdot\sum_{j=1}^{n}a_j+ \frac{1}{n} \cdot add
\\
&=\frac{1}{n^2} \cdot\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}a_i - \frac{1}{n} \cdot E(X)+ \frac{1}{n} \cdot add
\end {align*}
最后，提取出 \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i，得到
\begin {align*}
E(X')&=\frac{1}{n} \cdot\sum_{i=1}^{n}a_i - \frac{1}{n} \cdot E(X)+ \frac{1}{n} \cdot add
\\
&=\frac{1}{n} \cdot( \sum_{i=1}^{n}a_i - E(X)+ add )
\end {align*}
由此证毕。