一个关于对合复合的有趣定理

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孩子不懂事, 画着玩发现的.

对于一条圆锥曲线 \Gamma, 任给一条直线 l, 其上有奇数个对合中心 Q_1,\cdots, Q_{2n-1} (顺序任意), 则这些对合复合的结果仍为对合, 且复合出的对合的对合中心仍在 l 上.

如果你不知道什么是对合, 这里是简单解释: 我们考虑一个变换操作, 它将 \Gamma 上一点 P 映为 \Gamma 上另一点 P', 使得 PP' 过 Q (特别地, 若 PQ 与 \Gamma 相切, 则 P'=P), 我们称这个变换为对合, Q 为对合中心.

我们称一开始的点为 P_0, 依次操作, 经过对合中心 Q_i 后变为点 P_i.

当 n=1 时结论平凡.

若 n\geq3, 我们连接 P_1,P_{2n-2}, 对 P_1 至 P_{2n-2} 使用 (n-1) 时的结论, 再对 P_0,P_1,P_{2n-2}, P_{2n-1} 应用 n=2 的结论即可.

这样, 我们只需考虑 n=2 的情况, 更大的 n 由数学归纳即得.

当 l 与 \Gamma 有两个交点时:

如图, 我们称 P_0,P_3 交点为 Q_4, l 交 \Gamma 于 X,Y.

导交比得

[X,Q_3;Q_2,Y]=[X,P_3;P_1,Y]=[X,Q_4;Q_1,Y]

于是 Q_4 为定点.

展开交比有

\dfrac{XQ_1}{Q_1Q_4}\dfrac{Q_4Y}{YQ_3}\dfrac{Q_3Q_2}{Q_2X}=-1

容易发现这是 Candy 定理的推广.

但是当 l 与 \Gamma 相切甚至相离时以上方法不可行(或许能用复射影平面那一套, 但是我不会)

另一个思路是使用 这里 提到的技术爆算, 实操可行, 不过这种做法疑似有点城市化了.

几何题还是要用几何的方法做. 考虑到对合的判定是 A\Rightarrow B\Rightarrow A, 我们考虑对 P_3 进行操作:

如图, Pascal+同一法易知 P_0P_2'Q_3 共线, 则 P_0\Rightarrow P_3\Rightarrow P_0, 知变换为对合.

然后还要证对合中心在 l, 上, 这需要再作一组对应点, 为方便取 P_1:

Pascal+同一法易知 YP_1Q_4 共线, 于是 P_0P_3 与 P_1Y 的交点 Q_4 即为对合中心, 它在 l 上.

综上定理得证.