一些可能会有用的公式
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个人记录
写在前面的话
这些公式是作者在看一本书的时候总结的，这里是这本书的官方网址，希望能对大家有用。
\tt{Part.1} 数字与图形切割
三角形数
排列成正三角形的球的数量。
T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}
应用：
n^2=T_n+T_{n-1}
求一个 a\times b 的方格中有多少个正方形或长方形，答案为 T_a\times T_b 。
若有 n 个元素，每两个之间都必须连一条线，线的条数为 T_{n-1} 。
四面体数
将多个正三角形球拼起来的球的数量。
T_n=\dfrac{n^3+3n^2+2n}{6}
中心六边形数
排列成正六边形的球的数量。
T_n=3n^2-3n+1
五边形数
排列成正五边形的球且每一个是上一个向外扩展一个正五边形的数量。
T_n=\dfrac{n(3n-1)}{2}
正方形数
排列成正方形的球的数量。
T_n=n^2
四棱锥数
将多个正方形球拼起来的球的数量。
T_n=\dfrac{2n^3+3n^2+n}{6}
应用：
求一个 n\times n 的方格上有多少个正方形，答案为 T_n 。
切圆形
将一个圆形切 n 刀，得到的最多的块数。
T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}+1
实则为三角形数加 1 。
切新月形
将一个新月形切 n 刀，得到的最多块数。
T_n=\dfrac{n(n+3)}{2}+1
一个例子：
切正方体
将一个正方体切 n 刀，得到的最多块数。
T_n=\dfrac{n^3+5n}{6}+1
\tt{Part.2} 排列与组合
排列
$n$ 个物体分 $m$ 组，第 $i$ 组有 $a_i$ 个，每组中的物体没有区别，排列数为 $\dfrac{n!}{\prod\limits_{i=1}^{m}a_i!}
组合
若不考虑顺序，排列数为 $\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$ ，即为常见的 $C^{p}_{n}$ 。
$n$ 个数字，每个数字有 $p$ 种取值，考虑排列顺序的排列数为 $n^p$ 。
若不考虑顺序，排列数为 $\dfrac{(p+n-1)!}{p!\times (n-1)!}$ 。
### $\tt{Part.3}$ 图形与几何体
约定： $a,b,c,d$ 等小写字母为边长， $A,B,C,D$ 的大写字母为角， $p$ 为周长， $s$ 为半周长 , $S$ 为面积。
#### 正多边形
设一个正多边形的边长为 $a$ ，边数为 $n$ 。
外角为 $\dfrac{360\degree}{n}
内角为 \dfrac{n-2}{n}\times 180\degree
外接圆半径为 \dfrac{a}{2\times \sin(\dfrac{180\degree}{n})}
内接圆半径为 \dfrac{a}{2\times \tan(\dfrac{180\degree}{n})}
面积为 \dfrac{na^2}{4\times \tan(\dfrac{180\degree}{n})}
补充：
\dfrac{a}{\sin\!A}=\dfrac{b}{\sin\!B}=\dfrac{c}{\sin\!C}
\cos\!A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
一个含有偶数条边的正多边形的最长对角线等于 \dfrac{a}{\sin(\dfrac{180\degree}{n})}
若含有奇数条边，最长对角线等于 \dfrac{a}{2\times \sin(\dfrac{90\degree}{n})}
三角形
这里只提特殊的公式。
对于一个边长为 a 的等边三角形，面积为 \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 。
当知道三角形两边长度以及它们夹角的度数时，面积为 \dfrac{a b\sin\!C}{2} 。
当知道三角形一边长度以及所有角的度数时，面积为 \dfrac{a^2\sin\!B\sin\!C}{2\times \sin\!A} 。
当知道三角形三边长度时，面积为 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ， s=\dfrac{p}{2} （海伦公式）。
任意一个三角形外接圆的半径为 \dfrac{a}{2\times \sin\!A} 。
内接圆半径为 \dfrac{S}{s} 。
平行四边形
若只知道两条边长和任意角的度数，面积为 ab\sin\!X ， X 可以为任意角的度数。
补充： \sin\!A=\sin(180\degree-A)
菱形
若只知道边长和任意角的度数，面积为 a^2\sin\!X ， X 可以为任意角的度数。
若只知道两条对角线长度，面积为 \dfrac{xy}{2} 。
不规则四边形
若该四边形四点共圆，面积为 \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} 。
该外接圆的半径为 \dfrac{\sqrt{\dfrac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{4} 。
对于任意四边形，面积为 \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2(\dfrac{P+Q}{2})} 。
另一个版本，面积为 \dfrac{ab\sin\!P+cd\sin\!Q}{2} 。
若知道对角线长度以及对角线任意一个夹角，面积为 \dfrac{xy\sin\!X}{2} 。
梯形
若只知道四边长度，面积为 \dfrac{(a+c)\sqrt{(a+b-c+d)(a-b-c+d)(a+b-c-d)(-a+b+c+d)}}{4(a-c)} 。
锥体
若知道底面积为 S ，高为 h ，体积为 \dfrac{Sh}{3} 。
对于一个知道所有边长的不规则四面体，体积为 \dfrac{\sqrt{-a^2b^2c^2-a^2d^2e^2-b^2d^2f^2-c^2e^2f^2+a^2c^2d^2+b^2c^2d^2+a^2b^2e^2+b^2c^2e^2+b^2d^2e^2+c^2d^2e^2+a^2b^2f^2+a^2c^2f^2+a^2d^2f^2+c^2d^2f^2+a^2e^2f^2+b^2e^2f^2-c^4d^2-c^2d^4-b^4e^2-b^2e^4-a^4f^2-a^2f^4}}{12}
规则立体图形
四面体
体积为 \dfrac{\sqrt{2}a^3}{12} ，表面积为 \sqrt{3}a 。
八面体
体积为 \dfrac{\sqrt{2}a^2}{3} ，表面积为 2\sqrt{3}a^2 。
十二面体
体积为 \dfrac{(15+7\sqrt{5})a^3}{4} ，表面积为 3\sqrt{25+10\sqrt{5}}a^3 。
二十面体
体积为 \dfrac{5(3+\sqrt{5})a^3}{12} ，表面积为 5\sqrt{3}a^2 。
圆
一个圆的弧长为 \dfrac{Q\pi r}{360\degree} 。
弦长为 2\sqrt{r^2-h^2} 或 2r\sin(\dfrac{Q}{2}) 。
弓形的面积为 \dfrac{r^2}{2}(\dfrac{Q}{180}\pi-\sin\!Q) 。
月牙形的面积为 w^2\left(\pi-\dfrac{2\pi \left(\cos^{-1}(\dfrac{w^2+d^2-b^2}{2wd})\right)}{360}+\dfrac{\sin2\left(cos^{-1}(\dfrac{w^2+d^2-b^2}{2wd})\right)}{2}\right)-b^2\left(\dfrac{2\pi \left(\cos^{-1}(\dfrac{b^2+d^2-w^2}{2bd})\right)}{360}-\dfrac{\sin 2\left(\cos^{-1}(\dfrac{b^2+d^2-w^2}{2bd})\right)}{2}\right)
圆角矩形
面积为 lw-r^2(4-\pi) 。
球体
体积为 \dfrac{4\pi r^3}{3} 。
表面积为 4\pi r^2 。
半球体的表面积（包括切面部分）为 3\pi r^2 。
球缺的体积为 \dfrac{\pi h(3x^2+h^2)}{6} ,表面积为 2\pi rh 。
正圆锥体的体积为 \dfrac{\pi r^2h}{3} ，倾斜面的面积为 \pi rl 。
圆环体的体积为 2\pi^2Rr^2 或 \dfrac{\pi^2(b+a)(b-a)^2}{4} 。
表面积为 4\pi^2Rr 或 \pi^2(b+a)(b-a) 。
椭圆
椭圆的面积为 \dfrac{\pi AB}{4} 或 \pi ab。
周长近似值为 \pi (a+b)\left(\dfrac{1+\dfrac{3(a-b)^2}{(a+b)^2}}{10+\sqrt{4-\dfrac{3(a-b)^2}{(a+b)^2}}}\right)
椭球体的体积为 \dfrac{4\pi abc}{3} 。
\tt{Part.ex} 其他奇怪的公式
单位分数
将一个分数转化为一些单位分数相加，若得出不为单位分数的分数，则继续套。
\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{w+1}+\dfrac{a-r}{(w+1)b}
w=\left\lfloor \dfrac{b}{a}\right\rfloor , r=b-a\times w
斐波那契
第 n 项为 \dfrac{\left(\Big(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)^n-\Big(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\Big)^n\right)\sqrt{5}}{5}
或 \left\lfloor\dfrac{(1.618)^n\sqrt{5}}{5}\right\rfloor