微分学(2): 可微性
Gorenstein
·
·
个人记录
可微性
在下面的讨论中，固定一个非平凡赋值域 (K,|\cdot|)。
定义 3.1.\quad设 X 为拓扑空间，p\in X，(E,\|\cdot\|) 为赋范线性空间，f:X\to E 为映射，g:X\to\mathbb R_{\geq 0} 为非负映射。我们说在 x\to p 时 f(x)=O(g(x))，如果存在一个 p 的邻域以及常数 C>0 使得 \forall x\in V,f(x)\leq Cg(x)；说 \|f(x)\|=o(g(x))，如果存在映射 \varepsilon V\to\mathbb R_{\geq 0} 满足 \lim\limits_{x\in V,x\to p}\varepsilon(x)=0，使得 \forall x\in V,\|f(x)\|\leq\varepsilon(x)g(x)。
定义 3.2.\quad设 E,F 为 K 上赋范线性空间，U\subset E 为开集，f:U\to F，p\in U。如果存在 \varphi\in\mathscr L(E,F) 使得
f(x)=f(p)+\varphi(x-p)+o(\|x-p\|),\quad x\to p,
则称 f 在 p 点可微，其微分为 \varphi\in\mathscr L(E,F)，我们记其为 \text d_pf。
容易证明微分若存在则唯一。
微分的一些基本例子
常值映射
### 有界线性映射
若 $f\in\mathscr L(E,F)$，则显然 $\forall p\in U,\text d_p f=f$。
特别地，设 $A:E\times E\to E,\mapsto x+y$，则 $\forall (p,q)\in E^2,\text d_{(p,q)}A=A$。
### 标准乘法映射
取 $l^{\infty}$ 范数，下面考虑映射 $m:K\times E,(\lambda,x)\mapsto\lambda x$。
设 $(a,p)\in K\times E$。对于 $(\lambda,x)\in K\times E$，有
$$
\begin{aligned}
\lambda x-ap&=\lambda x-ax+ax-ap\\
&=(\lambda-a)x+a(x-p)\\
&=p(\lambda-a)+a(x-p)+(\lambda-a)(x-p).
\end{aligned}
$$
注意到
$$
\begin{aligned}
\|(\lambda-a)(x-p)\|&=|\lambda-a|\cdot\|x-p\|\\
&\leq\max\{\lambda-a,x-p\}^2\\
&=o(\max\{\lambda-a,x-p\}).
\end{aligned}
$$
下面只需证明 $\forall(a,p)\in K\times E$，映射 $((k,y)\in E)\mapsto kp+ay\in E$ 有界。观察到
$$
\begin{aligned}
\|kp+ay\|&\leq |k|\cdot\|p\|+|a|\cdot\|y\|\\
&\leq(|a|+\|p\|)\max(|k|,\|y\|)\\
&=(|a|+\|p\|)\|(k,y)\|_{l^{\infty}},
\end{aligned}
$$
从而 $((k,y)\mapsto kp+ay)$ 为有界线性映射。因此
$$
\text d_{(a,p)}m(\lambda,x)=\lambda p+ax.
$$
## 微分运算法则
### 链式法则
**定理 3.3.**$\quad$设 $E,F,G$ 为赋范线性空间，开集 $U\subset E,V\subset F$，映射 $f:U\to F,g:V\to G$ 满足 $f(U)\subset V$，点 $p\in U$。假设 $f,g$ 分别在 $p,f(p)$ 点可微，则 $g\circ f$ 在 $p$ 点可微，且微分为 $\text d_p(g\circ f)=\text d_{f(p)}g\circ\text d_p f$。
**证明**$\quad$观察到由于有界，$\text d_pf(x-p)=O(\|x-p\|)$。从而
$$
\begin{aligned}
f(x)-f(p)&=\text d_pf(x-p)+o(\|x-p\|)=O(\|x-p\|),\quad x\to p,
\end{aligned}
$$
于是
$$
\begin{aligned}
g(f(x))-g(f(p))&=\text d_{f(p)}g(f(x)-f(p))+o(\|f(x)-f(p)\|)\\
&=\text d_{f(p)}g\big(\text d_pf(x-p)+o(\|x-p\|)\big)+o(\|f(x)-f(p)\|)\\
&=\text d_{f(p)}g\circ\text d_pf(x-p)+o(\|x-p\|),\quad x\to p.
\end{aligned}
$$
从而 $g\circ f$ 在 $p$ 点可微且 $\text d_p(g\circ f)=\text d_{f(p)}g\circ\text d_p f$。$\square
特别地，设 E,F,G 为赋范线性空间，开集 U\subset E,p\in U，\varphi\in\mathscr L(F,G)，f:U\to F 在 p 点可微，则 \varphi\circ f 亦然，且 \text d_p(\varphi\circ f)=\varphi\circ\text d_pf。
命题 3.4.\quad设 E,F_1,\cdots,F_n 为赋范线性空间，f_i:U\to F_i 为映射，积集 \prod_1^n F_i 取 l^{\infty} 范数。定义 f:U\to\prod_1^n F_i:x\mapsto(f_1(x),\cdots,f_n(x))。设 p\in E。则
-
- 当 f 可微时，有 \text d_pf=(\text d_pf_1,\cdots,\text d_pf_n)。
证明\quad假设 \forall i\in\{1,\cdots,n\}，f_i 可微。则
\begin{aligned}
f(x)-f(p)&=(f_1(x)-f_1(p),\cdots,f_n(x)-f_n(p))\\
&=(\text d_pf_1(x-p),\cdots,\text d_pf_n(x-p))+o(\|x-p\|),
\end{aligned}
从而 \text d_pf=(\text d_pf_1,\cdots,\text d_pf_n)。
假设 f 在 p 点可微，\forall i\in\{1,\dots,n\}，考虑 \pi_i:(x_1,\cdots,x_n)\mapsto x_i。显然 \pi_i 为有界线性映射，从而 f_i=\pi_i\circ f 在 p 点可微。\square
推论 3.5.\quad设 E,F 赋范线性空间，开集 U\subset E，f,g:U\to F 皆在 p\in U 点可微，则 \forall a,b\in K 都有 af+bg 在 p 点可微，且 \text d_p(af+bg)=a\text d_pf+b\text d_pg。
定义 3.6.\quad设 U 为赋值的域 K 中的开集，(F,\|\cdot\|) 为赋范线性空间，p\in U，f:U\to F 在 p 点可微，则称 \text d_pf(1) 为 f 在 p 点的导数，记作 f'(p)。
推论 3.7.\quad设 U,V 为 K 中的开集，f:U\to K,g:V\to F 为映射，f(U)\subset V。若 f,g 分别在 p,f(p) 点可微，则 (g\circ f)'(p)=g'(f(p))f(p)。
Leibniz 律
推论 3.8. (Leibniz rule)\quad设 E,F 为赋范线性空间，开集 U\subset E，p\in U，映射 f:U\to K,g:U\to F 在 p 点可微，则 fg 亦然，且 \forall l\in U 有
\text d_p(fg)(l)=\text d_pf(l)g(p)+f(p)\text d_pg(l).
证明\quad考虑 h:U\to K\times F,x\mapsto(f(x),g(x)) 以及 \times m:K\times F\to F,(k,x)\mapsto kx，有 fg=m\circ h。从而 \forall x\in E，有
\begin{aligned}
\text d_p(fg)(x)&=\text d_p(m\circ h)(x)\\
&=\big(\text d_{(f(p),g(p))}m\circ\text d_ph\big)(x)\\
&=\text d_{(f(p),g(p))}m(\text d_pf(x),\text d_pg(x))\\
&=f(p)\text d_pg(x)+g(p)\text d_pf(x).
\end{aligned}
这就证明了所谓 Leibniz 律。\square
作为其直接推论，若 f,g 是到 K 的映射，则 (fg)'(p)=f'(p)g(p)+f(p)g'(p)。