高中数学笔记-3-集合
第三课 集合
1. 集合的概念
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概念
指定的某些对象的全体（研究对象是元素）
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特性
确定性，互异性，无序性
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元素与集合的关系
属于（
\in ）不属于（
\notin ） -
集合的分类
有限集，无限集，空集（）
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常见数集
$\mathbb Q$ 有理数集 $\Z$ 整数集 $\N$ 自然数集 $\Complex$ 复数集 $\N^*=\N_+$ 正整数集 $\R^+$ 正实数集 -
集合的表示方法
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列举法
A=\{1,2,3\} -
描述法
A=\{x|y=x^2-x+1\}=\R B=\{y|y=x^2-x+1\}=[\dfrac{3}{4},+\infty)
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2. 集合间的关系
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子集
若对于
\forall x\in A ，都有x\in B ，则称集合A 是集合B 的子集，记为A\subseteq B -
真子集
若
A \subseteq B ，但\exists\ x\in B ，且x\notin A ，则称集合A 是集合B 的真子集，记为A\subsetneqq B -
空集
不含任意元素的集合是空集，记为
\varnothing 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
$\varnothing\subseteq\{\varnothing\}$：$\varnothing$ 为集合 $\varnothing\subsetneqq\{\varnothing\}$：$\varnothing$ 为集合，空集是任何非空集合的真子集 -
子集个数问题
若一个集合有
n 个元素，则子集有2^n 个，真子集有2^n-1 个，非空子集有2^n-1 个，非空真子集有2^n-2 个
例题：以下正确的个数是？
\varnothing=0$，$\varnothing={0}$，$\varnothing=\{\varnothing\}$，$0\in\varnothing$，$\varnothing\in\{\varnothing\}$，$\varnothing\subseteq\{0\}$，$\varnothing\subsetneqq\{\varnothing\} 只有后三个是对的
3. 集合的运算
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交集
A\cap B=\{x|x\in A,\text{and}\ x\in B\} -
并集
A\cup B=\{a|x\in A,\text{or}\ x\notin A\} -
补集
\complement_\R A=\{x|x\in\R,\text{and}\ x\notin A\} 性质（摩根公式）：
\complement_\R(A\cap B)=(\complement_\R A)\cup(\complement_\R B) \complement_\R(A\cup B)=(\complement_\R A)\cap(\complement_\R B) （可以画 Venn 图分析）
4. 充分条件与必要条件
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定义
“若
p ，则q ”为真命题，记p\Rightarrow q ，则称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件“若
p ，则q ”为假命题，记p\nRightarrow q ，则称p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件“若
p ，则q ”与它的逆命题“若Q ，则p ”均为真命题，记p\Leftrightarrow q ，则称p 是q 的充分必要条件，q 是p 的充分必要条件（简称充要条件）
5. 全称量词与存在量词
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定义
全称量词（
\forall ）：对每个元素都成立存在量词（
\exists ）：对至少等于一个元素成立 -
否定
全称量词命题的否定：
\forall x\in M,p(x) 的否定是\exists x\in M,\lnot p(x) 存在量词命题的否定：
\exists x\in M,p(x) 的否定是\forall x\in M,\lnot p(x)