《Algebra》习题选做 Chapter 2

## Chapter 2 Groups > 4.1. 群 $G$ 的元素中 $a, b$ 满足 $a$ 的阶是 $7$ 且 $a^3b=ba^3$，求证 $ab=ba$。 $$ \begin{aligned} a^3&=ba^3b^{-1}\\ (a^3)^5&=(ba^3b^{-1})^5\\ a^{15}&=ba^{15}b^{-1}\\ a&=bab^{-1}\\ ab&=ba \end{aligned} $$ 点评：本质是因为 $\gcd(3,7)=1$。 > 4.3. 群 $G$ 的元素中 $a,b$，求证 $ab,ba$ 同阶。 设 $ab$ 的阶是 $k$，那么有 $$ \begin{aligned}(ab)^k&=e\\a(ba)^{k-1}b&=e\\a(ba)^{k-1}&=b^{-1}\\(ba)^k&=e\end{aligned} $$ 因此 $\operatorname {ord} (ba) \le \operatorname{ord}(ab)$，同理可得 $\operatorname {ord} (ba) \ge \operatorname{ord}(ab)$，因此二者相等。 点评：注意到一些元素的乘积是单位元的时候可以对元素进行 cyclic shift。 > 4.10. 举例说明群中一些阶有限的元素的乘积有可能阶是无限的。 在全体双射 $f: \mathbb Z\rightarrow \mathbb Z$ 的复合运算构成的群中，令 $f(n)=1-n, g(n)=-n$，那么$f, g$ 的阶都是 $2$，但 $f(g(n)) = n+1$，阶是无限的。 > 5.6. 确定 $GL_n(\mathbb R)$ 的中心（全体与任何元素都交换的元素）。 若两个可逆矩阵 $\mathbf {AB} = \mathbf{BA}$，那么可以考虑将 $\mathbf B$ 分级为一串初等矩阵的乘积，我们只需证明 $\mathbf A$ 对所有初等变换都交换。 1. 初等矩阵 $\mathbf E$，其中 $\mathbf E_{kk} = a$。$\mathbf {AE}$ 的作用是将第 $k$ 列乘以 $a$，$\mathbf {EA}$ 的作用是将第 $k$ 行乘以 $a$，因此导出 $\mathbf A_{ij} = 0(i\neq j)$。 2. 初等矩阵 $\mathbf E$，其中 $\mathbf E_{ij}=1$。$\mathbf {AE}$ 的作用是第 $j$ 行加到第 $i$ 行去。$\mathbf {EA}$ 的作用是第 $i$ 列加到第 $j$ 列去。因此 $\mathbf A_{ii} = \mathbf A_{jj}$。 综上，$\mathbf A = c \mathbf I (c\neq 0)$ 是中心。 > 8.3. 一个 $35$ 阶群是否包含 $5$ 阶子群？$7$ 阶呢？ 先取一个元素 $a\neq 1$，它的阶如果是 $35$，那 $a^7, a^5$ 的生成群分别就是 $5,7$ 阶的。否则反设单位元以外所有元素的阶是 $5$，由于 $\langle a\rangle$ 和 $\langle b\rangle$ 要么相等，要么交为单位元。那么 $35 \bmod 4 = 3 \neq 1$，矛盾。故一定也有元素的阶是 $7$。 点评：我这个做法好像很辣鸡…… > 8.7. 一个 $22$ 阶群 $G$ 中的两个元素 $x,y$ 满足 $x\neq 1$ 且 $y$ 不是 $x$ 的幂，求证 $x,y$ 生成的子群得到的就是整个群 $G$。 首先 $\operatorname {ord} x \in \{2, 11\}$，因为 $\langle x\rangle | \langle x,y\rangle$，而 $y$ 不是 $x$ 的幂所以 $\langle x\rangle \neq \langle x, y\rangle$，因此 $|\langle x,y\rangle|=22$，也就证明了生成了整个群。 点评：拉格朗日子群定理的简单应用。 > 8.8. 证明一个 $25$ 阶群 $G$，至少存在一个 $5$ 阶子群，如果只有一个 $5$ 阶子群，那么 $G$ 是循环群。 设取一个元素 $x \neq 1$，如果 $\operatorname{ord}x=5$，直接得证，否则 $\operatorname{ord} x=25$，那么 $\operatorname{ord} x^5 = 5$。如果 $G$ 只有一个子群 $|H|=5$，那么取元素 $x\notin H$，只能有 $\operatorname{ord} x=25$，那么 $G = \langle x\rangle$ 是循环群。 点评：从一个元素的幂出发考虑往往很有效。 > 8.9. 对于什么样的有限群 $G$，映射 $\varphi: G\rightarrow G$ 定义为 $\varphi(x)=x^2$ 是个自同构？ 首先验证 $(xy)^2=x^2y^2$，这等价于 $xy=yx$，因此 $G$ 是交换群。接下来考虑单射条件，如果 $x^2=y^2$ 而 $x\neq y$，也就是说 $a=x/y \neq 1$，满足 $a^2=1$。如果 $|G|$ 是奇数，那么 $\operatorname{ord} a = 2$ 显然不可能，否则 $|G|$ 是偶数，将 $G$ 中的元素与逆元配对，由于 $1^{-1}=1$，必然还有一个元素满足 $x^{-1}=x$，也就是 $x^2=1$。 因此我们知道了，$\varphi(x)=x^2$ 是自同构当且仅当 $G$ 是奇数阶交换群。 点评：逆元配对的想法忘了…… > 8.10. 证明一个 $G$ 的子群 $H$ 指数为 $2$ 则必为正规子群。并举例说明指数为 $3$ 的子群不一定是正规子群。 取 $g\in H$，显然 $gH=H=Hg$。取 $g\notin H$，由于 $|gH|=|H|=|Hg|=|G|/2$，那么只能有 $gH=G-H=Hg$，因此 $H$ 必然是正规子群。 考虑 $S_3$ 群里的元素 $(1\ 2)$ 生成的群 $\{1,(1\ 2)\}$，比如 $(2\ 3)\circ(1\ 2)\circ(2\ 3)=(1\ 3)$，可见不是~~正经~~正规子群。 > 8.12. $1\in S\subseteq G$ 是一个集合，满足 $aS$ 构成了对 $S$ 的一个划分，求证 $S$ 是子群。 首先取 $a\in S$，那么 $aS=S$，因此任取 $a,b\in S$ 有 $ab\in S$。因此 $a^{-1}\in S$。得证。 点评：反向考虑的一个重要见解。 > 10.2. 令 $H,K$ 为 $G$ 的子群。 > > (a) 证明 $xH\cap yK$ 要么是空集，要么是 $H\cap K$ 的陪集。 > > (b) 证明若 $H,K$ 的指数是有限的，那么 $H\cap K$ 的指数有限。 (a) 设 $a\in xH\cap yK$，那么 $xH=aH, yK=aK$，因此 $xH\cap yK = aH\cap aK = a(H\cap K)$。 (b) 设 $H\cap K$ 的一个陪集是 $a(H\cap K) = aH\cap aK$，那么考虑全体 $xH, yK$ 分别有 $n,m$ 个，可知 $a(H\cap K)$ 不超过 $nm$ 个，因此指数有限。 点评：对于陪集的记号修改有时是很有用的。 > 11.6 一个群 $G$ 有 $3$ 和 $5$ 阶正规子群，求证存在 $15$ 阶元素。 记两个正规子群是 $N_1, N_2$，显然 $N_1 \cap N_2 = \{1\}$。且因为阶数是质数所以必然是循环群。对于 $x\in N_1, y\in N_2, y\neq 1$，考虑映射 $\varphi(x)=yxy^{-1}$，那么由于构成了自同构 $\varphi : N_1 \rightarrow N_1$ ，我们可以记 $\varphi(x)=x^k$。因此取 $t=k^{-1} \pmod 3$，我们有 $\varphi^t (x)=x^{kt}=x$，因此 $y^txy^{-t}=x$，因此 $y^t$ 与任何一个 $x$ 交换。又因为 $y^t \neq 1$ 是 $N_2$ 的生成元，因此 $N_1$ 和 $N_2$ 的每个元素都交换，我们取 $x,y\neq 1$，$xy$ 的阶就是 $15$。 点评：$N_1\cap N_2=\{1\}$ 是一个非常重要的性质，实际上只要满足这个条件的正规子群就是交换的。 > 11.9. 对于群 $G$ 的子群 $H,K$，证明 $HK$ 是子群当且仅当 $HK=KH$。 首先证明 $HK$ 是子群 $\Rightarrow HK=KH$：任取 $k\in K, h\in H$，由于 $(kh)^{-1} = h^{-1}k^{-1} \in HK$，所以 $kh\in HK$，即 $KH \subseteq HK$，类似地，$HK \subseteq KH$。因此 $HK=KH$。 接下来证明逆命题：首先任取 $h\in H, k\in K$，可得 $kh=(h^{-1}k^{-1})^{-1} \in HK$。任取 $x\in HK$，因为一定可以表示为 $x=hk$，那么 $h_1k_1h_2k_2 = h_1(k_1h_2)k_2$，因此可得 $h_1k_1h_2k_2 \in HK$。 > 12.3. 令 $P$ 是 $G$ 的一个划分，满足对于 $P$ 中的任意两个元素 $A,B$，有 $AB$ 是某个元素 $C$ 的子集。求证包含 $1$ 的那个元素 $N$ 是正规子群。 设 $a\in A$，那么由于 $a=a\cdot 1\in AN$，可得 $aN \subseteq AN\subseteq A$，因此只有 $A = aN$，类似可得 $A = Na$，因此 $N$ 是正规子群。 这章的综合题都没啥意思，所以都过了一遍，没有记录。