2020全国高中数学联赛游记

· · 个人记录

考前一天做到一道解析几何，答案一上来竟然写了个“由梅涅劳斯定理知”，毒瘤吧

一试除了解析几何没有特别困难的题，令人震惊地在半小时内做完填空，第一个大题竟然把 \cos B+\sqrt2\cos C 看成 \cos B+2\cos C，然后计算非常复杂……

算完后才发现看错数据，浪费一堆时间

解析几何算了半天发现不会，果断弃掉

然后回去改填空，然后就收卷了

一对答案才发现我把对的改成了错的，心态爆炸

第 9 题我竟然 1-1=1，白丢一半分，心态爆炸*2

二试平面几何十分钟切掉（常规速度），看代数题猜取等条件是全为 2，然后不会证明，半个小时弃掉，看数论感觉一头雾水，再次弃掉

组合题感觉还算可以，就是得弄清楚细节（写了一个小时），得出结论是 F_{11}=90（难道不是 89 吗），又看代数，还是不会，然后瞬间发现数论还挺可做的（只是为什么要出现费马小定理），切了

然后陷入自闭

对答案的时候发现 F_{11}\neq90，白丢 10 分，心态爆炸*3

为什么 LA 群里也在讨论组合题啊

去年不会代数，今年还是不会，我好菜啊*1

去年组合算错答案，今年还是算错，我好菜啊*2

全场只有我算错一试第 6 题，我好菜啊*3

二试过程写的太少，感觉很可能挂分

顺便附上题目：

一试

T1:在等比数列 \{a_n\} 中，a_9=13,a_{13}=1，则 \log_{a_1}13 的值为 \rule{1cm}{0.15mm}.

T2:在椭圆 \Gamma 中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，F_1,F_2 为两个焦点. 若 \overrightarrow{AF_1}\cdot\overrightarrow{AF_2}+\overrightarrow{BF_1}\cdot\overrightarrow{BF_2}=0，则 \dfrac{ |AB|}{|F_1F_2|} 的值为 \rule{1cm}{0.15mm}.

T3:设 a>0，函数 f(x)=x+\dfrac{100}x 在区间 (0,a] 上的最小值为 m_1，在区间 [a,+\infty) 上的最小值为 m_2. 若 m_1m_2=2020，则 a 的值为 \rule{1cm}{0.15mm}.

T4:设 z 为复数. 若 \dfrac{z-2}{z-\mathrm i} 为实数（\mathrm i 为虚数单位），则 |z+3| 的最小值为 \rule{1cm}{0.15mm}.

T5:在 \triangle ABC 中，AB=6,BC=4，边 AC 上的中线长为 \sqrt{10}，则 \sin^6\dfrac A2+\cos^6\dfrac A2 的值为 \rule{1cm}{0.15mm}.

T6:正三棱锥 P-ABC 的所有棱长均为 1，L,M,N 分别为棱 PA,PB,PC 的中点，则该正三棱锥的外接球被平面 LMN 所截的截面面积为 \rule{1cm}{0.15mm}.

T7:设 a,b>0，满足：关于 x 的方程 \sqrt{|x|}+\sqrt{|x+a|}=b 恰有三个不同的实数解 x_1,x_2,x_3，且 x_1<x_2<x_3=b，则 a+b 的值为 \rule{1cm}{0.15mm}.

T8:现有 10 张卡片，每张卡片上写有 1,2,3,4,5 中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同. 将这 10 张卡片放入标号为 1,2,3,4,5 的五个盒子中，规定写有 i,j 的卡片只能放在 i 号或 j 号盒子中. 一种放法称为“好的”，如果 1 号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数. 则“好的”放法共有 \rule{1cm}{0.15mm} 种.

T9:在 \triangle ABC 中，\sin\dfrac A2=\dfrac{\sqrt2}2. 求 \cos B+\sqrt2\cos C 的取值范围.

T10:对正整数 n 及实数 x(0\leq x<n)，定义

f(n,x)=(1-\{x\})\mathrm C_n^{[x]}+\{x\}\mathrm C_n^{[x]+1},

其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数，\{x\}=x-[x]. 若整数 m,n\geq2 满足

f\bigg(m,\dfrac1n\bigg)+f\bigg(m,\dfrac2n\bigg)+\cdots+f\bigg(m,\dfrac{mn-1}n\bigg)=123,

求 f\bigg(n,\dfrac1m\bigg)+f\bigg(n,\dfrac2m\bigg)+\cdots+f\bigg(n,\dfrac{mn-1}m\bigg) 的值.

T11:在平面直角坐标系中，点 A,B,C 在双曲线 xy=1 上，满足 \triangle ABC 为等腰直角三角形. 求 \triangle ABC 面积的最小值.

二试

T1:如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=BC，I 为内心，M 为 BI 的中点，P 为边 AC 上一点，满足 AP=3PC，PI 延长线上一点 H 满足 MH\perp PH，Q 为 \triangle ABC 外接圆上劣弧 AB 的中点. 证明：BH\perp QH.

T2:给定整数 n\geq3. 设 a_1,a_2,\cdots,a_{2n},b_1,b_2,\cdots,b_{2n} 是 4n 个非负实数，满足

a_1+a_2+\cdots+a_{2n}=b_1+b_2+\cdots+b_{2n}>0,

且对任意 i=1,2,\cdots,2n，有 a_ia_{i+2}\geq b_i+b_{i+1}（这里 a_{2n+1}=a_1,a_{2n+2}=a_2,b_{2n+1}=b_1）.

求 a_1+a_2+\cdots+a_{2n} 的最小值.

T3:设 a_1=1,a_2=2,a_n=2a_{n-1}+a_{n-2},n=3,4,\cdots. 证明：对整数 n\geq5，a_n 必有一个模 4 余 1 的素因子.

T4:给定凸 20 边形 P. 用 P 的 17 条在内部不相交的对角线将 P 分割成 18 个三角形，所得图形称为 P 的一个三角剖分图. 对 P 的任意一个三角剖分图 T，P 的 20 条边以及添加的 17 条对角线均称为 T 的边. T 的任意 10 条两两无公共端点的边的集合称为 T 的一个完美匹配. 当 T 取遍 P 的所有三角剖分图时，求 T 的完美匹配个数的最大值.