高中数学笔记 - 三角函数 & 平面向量
liuhaopeng
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2024-12-23 20:29:01
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数学笔记全文
修订
三角恒等变换
诱导公式
\begin{aligned}\sin(\alpha + 2k\pi)&=\sin\alpha,k \in \Z \\ \cos(\alpha + 2k\pi)&=\cos\alpha,k \in \Z \\ \tan(\alpha + 2k\pi)&=\tan\alpha,k \in \Z\end{aligned} \begin{aligned}\sin(\pi+\alpha)&=-\sin\alpha \\ \cos(\pi+\alpha)&=-\cos\alpha \\ \tan(\pi+\alpha)&=\tan\alpha\end{aligned} \begin{aligned}\sin(-\alpha)&=-\sin\alpha \\ \cos(-\alpha)&=\cos\alpha \\ \tan(-\alpha)&=-\tan\alpha\end{aligned}
\begin{aligned}\sin(\pi-\alpha)&=\sin\alpha \\ \cos(\pi-\alpha)&=-\cos\alpha \\ \tan(\pi-\alpha)&=-\tan\alpha\end{aligned} \begin{aligned}\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)&=\cos\alpha \\ \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)&=\sin\alpha \\ \sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)&=\cos\alpha \\ \cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)&=-\sin\alpha \\ \tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)&=\cot \alpha \\ \cot(\frac{\pi}{2}-\alpha)&=\tan \alpha \\ \sec(\frac{\pi}{2}-\alpha)&=\csc\alpha \\ \csc(\frac{\pi}{2}-\alpha)&=\sec\alpha\end{aligned} \begin{aligned}\sin(\frac{3\pi}{2}+\alpha)&=-\cos\alpha \\ \cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)&=\sin\alpha \\ \sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha)&=-\cos\alpha \\ \cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)&=-\sin\alpha\end{aligned}
毕达哥拉斯定理：\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 ，两边同除 \sin^2x 或 \cos^2x 可得 1+\tan^2x=\sec^2x,1+\cot^2x=\csc^2x 。
\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\cot x=\frac{1}{\tan x},\sec x=\frac{1}{\cos x},\csc x=\frac{1}{\sin x}
奇函数：\sin,\tan,\cot,\csc\ \ \ \ \text{} 偶函数：\cos,\sec
简单的三角恒等变换
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha \cos\beta+\sin\alpha \sin\beta \\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha \cos\beta-\sin\alpha \sin\beta \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1\\=(\cos\alpha+\sin\alpha)(\cos\alpha-\sin\alpha) \cos\frac a 2=\pm \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}
\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha \cos\beta-\cos\alpha \sin\beta \\ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin\beta \sin 2\alpha=2\sin\alpha \cos\alpha \sin\frac a 2=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}
\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta} \\ \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha \tan\beta} \tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \tan\frac a 2=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\\ =\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}
\begin{aligned}\sin 3\alpha&=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha \\ \cos 3\alpha&=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha \\ \tan 3\alpha&=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}\end{aligned} \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \sin\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{a}{2}}=\frac{\sin2\alpha}{2\cos\alpha} \\ \cos\alpha=\frac{1-\tan^2\frac{a}{2}}{1+\tan^2\frac{a}{2}}=\frac{\sin2\alpha}{2\sin\alpha} \\ \tan\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{a}{2}}\\=\frac{(1-\tan^2\alpha)\tan2\alpha}{2}
\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\sin^2\alpha-\sin^2\beta
\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta
1+\cos\alpha=2\cos^2\frac{a}{2}$，$1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{a}{2}
\tan^2\alpha\sin^2\alpha=\tan^2\alpha-\sin^2\alpha
对于任意非直角三角形中，总有 \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C
经典值：\tan A=1,\ \tan B=2,\ \tan C=3 , 此时 A=45\degree,\ B=63.43\degree,\ C=71.57\degree
其他三角形恒等式（ \Delta ABC 中 ）：\begin{cases}
\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} \\
\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} \\
\cot A+\cot B+\cot C=4\cot\frac{A}{2}\cot\frac{B}{2}\cot\frac{C}{2} \\
\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C=2+2\cos A\cos B\cos C \\
\cos^2A+ \cos^2B+\cos^2C=1-2\cos A\cos B\cos C \\
\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A\sin B\sin C \\
\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=-1-4\cos A\cos B\cos C\\
\tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{A}{2}\tan\frac{C}{2}=1
\end{cases}
若已知 \tan \alpha=k, 则有 \frac{a\sin\alpha+b\cos\alpha}{m\sin\alpha+n\cos\alpha}=\frac{ak+b}{mk+n} 。
\frac{1-\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{1}{2}\tan 2\alpha$，$\frac{1-\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\frac{1}{2}\sin 2\alpha
对于 x\in (0,\frac{\pi}{2}),\ \sin x<x<\tan x 。
三角函数的平移
y=A\sin(\omega x+\varphi)+h\ 或\ y=A\cos(\omega x+\varphi)+h \implies T=\frac{2\pi}{|\omega|}
三角函数的应用：振幅 A 周期 T=\frac{2\pi}{\omega} 频率 f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} 相位 \omega x+\varphi 初相 \varphi
y=A\tan(\omega x+\varphi)+h\implies T=\frac{\pi}{|\omega|}
三角函数里图像的平移都是针对单个 x 进行 左加右减 。
例：y=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})+1 向左平移 \frac{\pi}{4} 个单位长度，再将图像上所有点的横坐标缩短为原来的 \frac{1}{2} ：
y=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})+1 \implies y=3\sin[2(x+\frac{\pi}{6})]+1
第一步转移变成 y=3\sin[2(x+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4})]+1 \implies y=3\sin(2x+\frac{5\pi}{6})+1
第二步转移变成 y=3\sin(4x+\frac{5\pi}{6})+1
三角不等式
若 \alpha,\beta,\gamma 为同一个三角形的内角，则有下列不等式：（ 取等条件均为 \alpha=\beta=\gamma = \frac{\pi}{3} ）
\begin{aligned}\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma&\leq\frac{3\sqrt{3}}{2} \\ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma&\leq\frac{3}{2} \\ \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma&\leq\frac{3\sqrt{3}}{8} \\ \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma&\leq\frac{1}{8}\end{aligned} \begin{aligned}\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma&\leq\frac{9}{4} \\ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma&\geq\frac{3}{4} \\ \tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma&\geq 3\sqrt{3}\ (\ 锐角三角形\ ) \\ \cot\alpha+\cot\beta+\cot\gamma&\geq\sqrt{3}\end{aligned}
\begin{aligned}\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}&\leq\frac{3}{2} \\ \cos\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\beta}{2}+\cos\frac{\gamma}{2}&\leq\frac{3\sqrt{3}}{2} \\ \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}&\leq\frac{1}{8} \\ \cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}&\leq\frac{3\sqrt{3}}{8}\end{aligned} \begin{aligned}\sin^2\frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\beta}{2}+\sin^2\frac{\gamma}{2}&\geq\frac{3}{4} \\ \cos^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\beta}{2}+\cos^2\frac{\gamma}{2}&\leq\frac{9}{4} \\ \tan\frac{\alpha}{2}+\tan\frac{\beta}{2}+\tan\frac{\gamma}{2}&\geq\sqrt{3} \\ \cot\frac{\alpha}{2}+\cot\frac{\beta}{2}+\cot\frac{\gamma}{2}&\geq 3\sqrt{3}\end{aligned}
平面向量
定义及基本运算
我们把既有大小又有方向的量称为向量，把只有大小没有方向的量称为数量。向量用有向线段 \overrightarrow{AB} 表示（ 但向量 \neq 有向线段 ），它的长度/模记作 |\overrightarrow{AB}| 。
长度等于 1 个单位长度的向量，称为单位向量，一般用 \mathbf{e} 表示。长度等于 0 个单位长度的向量，称为零向量，用 \mathbf{0} 表示，它的方向是任意的。坐标轴不能说是向量（ 没有长度 ）。
平行向量 / 共线向量：方向 相同 或 相反 的非零向量叫做平行向量。零向量与任何向量平行。所以 \mathbf{a}//\mathbf{b},\mathbf{b}//\mathbf{c}\ \xcancel{\implies}\ \mathbf{a}//\mathbf{c} 。
向量 \mathbf{a}(\mathbf{a}\neq\mathbf{0}) 与 \mathbf{b} 共线 \Longleftrightarrow 存在唯一一个实数 \lambda 使 \mathbf{b}=\lambda\mathbf{a} 。
相等向量：长度相等 且 方向相同的两个向量。相反向量：长度相等 且 方向相反的两个向量。
投影向量：设 \overrightarrow{AB}=\mathbf{a},\overrightarrow{CD}=\mathbf{b} ，过 \overrightarrow{AB} 的起点 A 和终点 B ，分别作 \overrightarrow{CD} 所在直线的垂线，垂足分别为 A_1,B_1 并得到 \overrightarrow{A_1B_1} ，称上述变换为向量 \mathbf{a} 向向量 \mathbf{b} 投影，\overrightarrow{A_1B_1} 叫做向量 \mathbf{a} 在向量 \mathbf{b} 上的投影向量。
两个向量之间的夹角可用 \theta=\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle 表示，注意两个向量此时必须共顶点。
\theta 0 \pi \frac{\pi}{2}
\mathbf{a} 与 \mathbf{b} 的关系\mathbf{a} 与 \mathbf{b} 同向\mathbf{a} 与 \mathbf{b} 反向\mathbf{a} 与 \mathbf{b} 垂直 记作 \mathbf{a}\perp\mathbf{b}
运算符
运算法则
性质
+ 平行四边形法则
- 转化为相反向量后用平行四边形法则
-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}
数乘
实数 \lambda 与向量 \mathbf{a} 的积仍是向量，记作 \lambda\mathbf{a}
\| \lambda\mathbf{a} \| = \| \lambda \| \| \mathbf{a} \| ，满足交换律，结合律
点乘 \cdot \\ ( 内积/数量积 )
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta,\theta=\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle \mathbf{a}\perp\mathbf{b}\Longleftrightarrow\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0,\|\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\|\leq\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\| ，满足交换律，不满足结合律，不能约分 \\ 即 (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}\neq\mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}) ，但 (\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}
叉乘 \times \\ ( 外积/向量积 )
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{c} ，其中 \\ \|\mathbf{c}\|=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\sin\theta,\theta=\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle
向量的 +,-, 数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍为向量。点乘运算叫做 \mathbf{a} 与 \mathbf{b} 的数量积/内积，结果为数量。
定理及二级结论
平面向量基本定理：若 \mathbf{e_1,e_2} 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量 \mathbf{a} ，有且只有一对实数 \lambda _1,\lambda _2 ，使得 \mathbf{a}=\lambda _1\mathbf{e_1}+\lambda _2\mathbf{e_2} 。
若 \mathbf{e_1,e_2} 不共线，我们把 \set{\mathbf{e_1,e_2}} 叫做这一平面内所有向量的一个 基底 ；任一向量都可以由同一个基底唯一表示。
定比分点公式：已知点 D 为线段 BC 靠近点 B 的第 k 个 n 等分点 \implies \overrightarrow{AD}=\frac{k}{n}\overrightarrow{AC}+\frac{n-k}{n}\overrightarrow{AB} ，其中 A 为平面内任取的一点。
已知 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),P(x,y) ，若 \overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB} ，则 x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda} 。
$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|\implies$ 菱形 $\ \ \ \ \ \ \ \ \text{}$ $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$ 且 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|\implies$ 正方形
正弦定理：\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}=2R=D ，其中 R 为三角形外接圆半径。
变形：要证 (a+b)(\sin A-\sin B)=(c-b)\sin C ，可转化为 (a+b)(a-b)=(c-b)c\implies b^2+c^2-a^2=bc\implies\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{1}{2} 。
注意 \sin C=\sin(\pi-(A+B))=\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B 。
余弦定理：\begin{cases}
a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \\
b^2=a^2+c^2-2ac\cos B \\
c^2=a^2+b^2-2ab\cos C
\end{cases}\implies\begin{cases}
\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\
\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac} \\
\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\end{cases}
正切定理：\displaystyle\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan\frac{a+b}{2}}{\tan\frac{a-b}{2}}
任意三角形射影定理（ 将 \cos 展开即可证明 ）：\begin{cases}
a=b\cos C+c\cos B \\
b=a\cos C+c\cos A \\
c=a\cos B+b\cos A
\end{cases}
极化恒等式：\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=(\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2})^2-(\frac{\mathbf{a}-\mathbf{b}}{2})^2
对于平行四边形 ABCD ，满足 AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2),\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AC}^2-\overrightarrow{BD}^2) 。
对于三角形 ABC ，M 为 BC 中点，\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}^2-\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}^2=\overrightarrow{AM}^2-\overrightarrow{BM}^2 。
对任意四边形 ABCD ，若两对角线相垂直，则 S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}| 。
中线长定理：对于三角形 ABC ，AD 为 BC 边上的中线，则有 AB^2+AC^2=2(AD^2+BD^2)\\ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AD}|^2-|\overrightarrow{BD}|^2 。
张角定理：\Delta ABC,D 在 BC 上，令 \angle BAD=\alpha,\angle CAD=\beta ，则有 \frac{\sin\alpha}{AC}+\frac{\sin\beta}{AB}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{AD} 。
奔驰定理：点 O 是 \Delta ABC 所在平面内不与 A,B,C 重合的一点，若 x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}=\mathbf{0},xyz\neq 0 ，则 S_{\Delta OBC}\overrightarrow{OA}+S_{\Delta OAC}\overrightarrow{OB}+S_{\Delta OAB}\overrightarrow{OC}=\mathbf{0} ，且 S_{\Delta OBC}:S_{\Delta OAC}:S_{\Delta OAB}=x:y:z 。
证明：x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}=\mathbf{0} \implies \frac{x}{y}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\frac{z}{y}\overrightarrow{OC}=\mathbf{0} 。
将 OA 延长到 OE 满足 OE=\frac{x}{y}OA ，OC 延长到 OF 满足 OF=\frac{z}{y}OC ，变为 \overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OF}=\mathbf{0} 。
同理根据相似 $S_{\Delta AOC}:S_{\Delta AOB}:S_{\Delta BOC}=\frac{y^2}{xz}:\frac{yz}{xz}:\frac{xy}{xz}=y:z:x$。
例题：\Delta ABC 中，D 为 BC 中点，BE=2EA ，AD 与 CE 交于 O ，\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{EC},\frac{AB}{AC}=(\ \sqrt{3}\ \text{}) 。
方法一：\overrightarrow{AO}=\lambda\overrightarrow{AD}=\frac{\lambda}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=(1-\mu)\overrightarrow{AE}+\mu\overrightarrow{AC}=\frac{1-\mu}{3}\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}
解方程得 \lambda=\frac{1}{2},\mu=\frac{1}{4} ，\overrightarrow{AO}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC},\overrightarrow{EC}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} 。
代入题目，\frac{1}{2}AB^2=\frac{3}{2}AC^2,\frac{AB}{AC}=\sqrt{3} 。
方法二：作 AB 另一个三等分点 F ，连接 DF 构造中位线。
平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量分别为 \mathbf{i},\mathbf{j} ，取 \set{\mathbf{i},\mathbf{j}} 作为基底，对于平面内任意一个向量 \mathbf{a} ，有且只有一对实数 x,y ，使得 \mathbf{a}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j},(x,y) 就是 \mathbf{a} 的坐标，记作 \mathbf{a}=(x,y) 。
显然，\mathbf{i}=(1,0),\mathbf{j}=(0,1),\mathbf{0}=(0,0) ，\overrightarrow{OA}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j} \Longleftrightarrow A 的坐标 (x,y) 。
若表示向量 \mathbf{a} 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 (x_1,y_1),(x_2,y_2) ，则 \mathbf{a}=(x_2-x_1,y_2-y_1) 。
若 \mathbf{a}=(x_1,y_1),\mathbf{b}=(x_2,y_2) ，则有 \mathbf{a}\pm\mathbf{b}=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2),\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=x_1x_2+y_1y_2 。
向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 共线 $\Longleftrightarrow x_1y_2=x_2y_1$；向量 $\mathbf{a}\perp\mathbf{b} \Longleftrightarrow x_1y_2=x_2y_1$。
$\theta=\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle\implies\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\implies$ 柯西不等式的二元形式。
笛卡尔斜坐标系
$$\begin{cases}x'=x+y\cos\theta \\ y'=y\sin\theta\end{cases}\ 和\ \begin{cases}x=x'-\frac{y'}{\tan\theta} \\ y=\frac{y'}{\sin\theta}\end{cases}$$
于是我们可以把平面向量在平面直角坐标系中的一些运算迁移到斜坐标系中：
- 数量积：$(x_1',y_1')\cdot(x_2',y_2')=x_1x_2+y_1y_2+(x_1y_2+x_2y_1)\cos\theta
模长：\mathbf{a}=(x',y'),|\mathbf{a}|=\sqrt{x^2+y^2+2xy\cos\theta}
夹角：\mathbf{a}=(x_1',y_1'),\mathbf{b}=(x_2',y_2'),\cos\gamma=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}
例题：\Delta ABC 中，D,E 为 BC 上的两个三等分点，\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AE} ，则 \cos\angle ADE 的最小值为（ \frac{4}{7} ）。
以 \overrightarrow{DC},\overrightarrow{DA} 的方向作为平面 ABC 斜坐标系中 x',y' 轴的正方向，并设 |\overrightarrow{DA}|=m,|\overrightarrow{DC}|=2 ，可得 A(0,m),B(-1,0),C(2,0),D(0,0),E(1,0) 。
于是 \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=(-1,-m)\cdot(0,-m)=m^2+m\cos\angle ADE ,\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AE}=(2,-m)\cdot(1,-m)=2+m^2-3m\cos\angle ADE 。
根据题意整理得 \cos\angle ADE=\frac{1}{7}(m+\frac{4}{m})\geq\frac{4}{7} 。
三角形
三角形四心
以下记连接顶点和各交点的直线延长至顶点对边为 AD,BE,CF ，设 \Delta ABC 的外接圆半径为 R ，K 为平面内任意一点，\lambda,\mu,\eta\in\R^+
\Delta ABC 重心 G
垂心 H
交点
中线
高
基本性质
\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) \overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{HA}\\AH\cdot HD=BH\cdot HE=CH\cdot CF
坐标
\displaystyle G(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}) \displaystyle H\left(\frac{\frac{a}{\cos A}x_1+\frac{b}{\cos B}x_2+\frac{c}{\cos C}x_3}{\frac{a}{\cos A}+\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}},\frac{\frac{a}{\cos A}y_1+\frac{b}{\cos B}y_2+\frac{c}{\cos C}y_3}{\frac{a}{\cos A}+\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}}\right)
边的向量表示
\because\overrightarrow{AG}=\lambda(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) \\ \therefore\overrightarrow{KG}=\overrightarrow{KA}+\lambda(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\\=\overrightarrow{KA}+\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|\sin B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AC}\|\sin C}) \because \lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|\cos B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AC}\|\cos C})\perp\overrightarrow{BC}\\ \text{} \\ \therefore\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{KA}+\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|\cos B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AC}\|\cos C})
面积
S_{\Delta BGC}=S_{\Delta AGC}=S_{AGB} S_{\Delta BHC}:S_{\Delta AHC}:S_{\Delta AHB}=\tan A:\tan B:\tan C \\ \tan A\cdot\overrightarrow{HA}+\tan B\cdot\overrightarrow{HB}+\tan C\cdot\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}
定理
\\ 中线定理\begin{cases}AD^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}\\ BE^2=\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}\\ CF^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}\end{cases}\\ 中线长定理（ AB \to \overrightarrow{AB} ） \\ AB^2+AC^2=2AD^2+2DB^2
其余等量关系
1. \min\set{KA\cdot KB\cdot KC}=GA\cdot GB\cdot GC\\ 2. 三角形中势能最小的点为重心，即 \\ \begin{aligned}&\mathrm{min}\set{KA^2+KB^2+KC^2}\\&=GA^2+GB^2+GC^2\end{aligned} 二者都可用解析几何证明AH=2R\|\cos A\|\ \ \ \ \ BH=2R\|\cos B\|\ \ \ \ \ CH=2R\|\cos C\|\\HD:HE:HF=\|\cos B\cos C\|:\|\cos C\cos A\|:\|\cos A\cos C\|\\ HA^2+BC^2=HB^2+CA^2=HC^2+AB^2
\Delta ABC 内心 I 外心 O
交点
内角平分线
垂直平分线
基本性质
I 到三条边的距离相等 \\ \begin{cases}\overrightarrow{IA}\cdot(\frac{\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AC}\|}-\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|})=\overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{IB}\cdot(\frac{\overrightarrow{BC}}{\|\overrightarrow{BC}\|}-\frac{\overrightarrow{BA}}{\|\overrightarrow{BA}\|})=\overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{IC}\cdot(\frac{\overrightarrow{CB}}{\|\overrightarrow{CB}\|}-\frac{\overrightarrow{CB}}{\|\overrightarrow{CA}\|})=\overrightarrow{0}\end{cases}\\ 以上三条公式括号内两向量可互换OA=OB=OC \\ \angle_{AOB}=2\angle_C\ \ \ \ \angle_{AOC}=2\angle_B\ \ \ \ \angle_{BOC}=2\angle_A\\ \begin{cases}\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\|\overrightarrow{AB}\|^2 \\ \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\|\overrightarrow{AC}\|^2\\ \overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\|\overrightarrow{BC}\|^2\end{cases}
坐标
\displaystyle I(\frac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c},\frac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c}) \displaystyle O\left(\frac{\sin 2Ax_1+\sin 2Bx_2+\sin 2Cx_3}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C},\frac{\sin 2Ay_1+\sin 2By_2+\sin 2Cy_3}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}\right)
边的向量表示
\begin{aligned}\overrightarrow{AI}&=\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AC}\|})\\&=\mu(\sin B\cdot\overrightarrow{AB}+\sin C\cdot\overrightarrow{AC})\\&=\eta(\frac{\overrightarrow{AB}}{\sin C}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\sin B})\end{aligned} \overrightarrow{KO}=\frac{\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}}{2}+\lambda(\frac{\overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{AB}\|\cos B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AC}\|\cos C}) \\ \text{} \\ \Delta ABC 的外心在 O 点的集合中
面积
S_{\Delta BIC}:S_{\Delta AIC}:S_{\Delta AIB}=a:b:c\\a\cdot\overrightarrow{IA}+b\cdot\overrightarrow{IB}+c\cdot\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0} S_{\Delta BOC}:S_{\Delta AOC}:S_{\Delta AOB}=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C\\\sin 2A\cdot\overrightarrow{OA}+\sin 2B\cdot\overrightarrow{OB}+\sin 2C\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}
定理
角平分线定理 AD 平分 \angle BAC \implies \frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}\\ 鸡爪定理 \\ AI 交 \Delta ABC 外接圆于 D 有 ID=DB=DC
其余等量关系
\|\overrightarrow{BC}\|\cdot\overrightarrow{IA}+\|\overrightarrow{AC}\|\cdot\overrightarrow{IB}+\|\overrightarrow{AB}\|\cdot\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0} \\ AI:BI:CI=\frac{1}{\sin\frac{A}{2}}:\frac{1}{\sin\frac{B}{2}}:\frac{1}{\sin\frac{C}{2}} \begin{cases}\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}(\|\overrightarrow{AB}\|^2+\|\overrightarrow{AC}\|^2) \\ \overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{BE}=\frac{1}{4}(\|\overrightarrow{BA}\|^2+\|\overrightarrow{BC}\|^2) \\ \overrightarrow{CO}\cdot\overrightarrow{CF}=\frac{1}{4}(\|\overrightarrow{CA}\|^2+\|\overrightarrow{CB}\|^2)\end{cases}\\ \begin{cases}\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\|\overrightarrow{AC}\|^2-\|\overrightarrow{AB}\|^2) \\ \overrightarrow{BO}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\|\overrightarrow{BC}\|^2-\|\overrightarrow{BA}\|^2) \\ \overrightarrow{CO}\cdot\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\|\overrightarrow{CB}\|^2-\|\overrightarrow{CA}\|^2)\end{cases}
内接圆半径 r=\frac{\tan\frac{A}{2}(b+c-a)}{2} 。
欧拉定理：O,I 分别为外接圆、内切圆圆心，则有 OI^2=R^2-2Rr 。
欧拉线定理：三角形的外心 O ，垂心 H ，重心 G 依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半，即 \overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}) 。
例题：根据欧拉线定理，在 \Delta ABC 中有 AB=2,AC=3 ，以下正确的有（ ACD ）
A.\ \overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\ \ \ \ \ B.\ \overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BC}=-\frac{5}{3}\ \ \ \ \ C.\ \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{5}{2}\ \ \ \ \ D.\ \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
对 A ，因为 H 为垂心，所以 AH\perp BC ，显然正确。
对 B ，\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}),\ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\implies\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{5}{3}
对 C ，\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2,\ \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|^2
对 D ，\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH},\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\implies\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH}
三角形面积公式
以下记 S 为三角形面积，r 为三角形内切圆半径，R 为三角形外接圆半径。
海伦公式：p=\frac{a+b+c}{2},S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} 。
利用 \sin ：S=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ab\sin C}{2}=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}=\frac{b^2\sin A\sin C}{2\sin B}=\frac{c^2\sin A\sin B}{2\sin C} 。
内切圆：S=\frac{r(a+b+c)}{2} , 外接圆：S=2R^2\sin A\sin B\sin C=\frac{abc}{4R} , 注意可与 正弦定理 连用。
多边形面积（ 皮克定理 ）：S=a+\frac{b}{2}-1 ，其中 a 为多边形内部的点数，b 为多边形落在格点上的点数。
等边三角形面积：S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 ，其中 a 为等边三角形边长。
在 \Delta ABC 中，已知 \overrightarrow{AB}=(x_1,y_1), \overrightarrow{AC}=(x_2, y_2)\implies S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1| 。
例题 1：已知锐角三角形里 B=\frac{\pi}{3},c=2 ，求 S 范围？
\because \frac{a}{\sin A}=\frac{C}{\sin C}\ \ \ \ \ \therefore a=\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{2\sin A}{\sin(\frac{2\pi}{3}-A)}
S=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2\sin A}{\sin(\frac{2\pi}{3}-A)}=\frac{\sqrt{3}\sin A}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A+\frac{1}{2}\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2\tan A}+\frac{1}{2}}
\because \frac{\pi}{6}<A<\frac{\pi}{2} \ \ \ \ \ \therefore\tan A>\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{2}<\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2\tan A}+\frac{1}{2}}<2\sqrt{3}
例题 2：\Delta ABC 中满足 4\sqrt{3}S=a^2+b^2+c^2 ，求 \frac{2a}{3b+c} 的值？
由 S=\frac{1}{2}ab\sin C 和 c^2=a^2+b^2-2ab\cos C 得到 ab(\sqrt{3}\sin C+\cos C)=a^2+b^2
\therefore 2\sin(C+\frac{\pi}{6})=\frac{a^2+b^2}{ab}
$\therefore \Delta ABC$ 为等边三角形，$\frac{2a}{3b+c}=\frac{1}{2}
同样的一道练习题：实数 a,b,c 满足 e^{a-b+c}+e^{a+b-c}=2e^2(a-1) ，求 \large(\frac{abc}{a^4+b^4+c^4})_{\max}
答案：\frac{\sqrt{2}}{8} ，此时 b^4=c^4=8,a=2 。
求三角形内最值问题
已知 \Delta ABC ，D 在边 BC 上。
已知 \frac{BD}{CD},AD,\cos\angle_{BAC}\implies 向量法 ，(\overrightarrow{AD})^2=[x\overrightarrow{AB}+(1-x)\overrightarrow{AC}]^2,S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin\angle_{BAC}
已知 AD\perp BC,AD,\cos\angle_{BAC}\implies 正弦定理 + 三角恒等变换 ，AB=\frac{AD}{\sin B},AC=\frac{AD}{\sin C}
已知一角一边 \implies 正弦定理 a=\frac{b\sin A}{\sin B}\dots
已知 AD 为角平分线 \left[\overrightarrow{AD}=\lambda(\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}+\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|})\right] 与 AB,AC\implies 角平分线定理 / 正弦定理 / 面积 。
求内切圆半径取值范围 r=\frac{2S}{a+b+c}
例：已知 c=2,C=60\degree\implies r=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{ab}{a+b+2}\xlongequal{余弦定理}\frac{\sqrt{3}}{6}\frac{(a+b)^2-4}{a+b+2}=\frac{\sqrt{3}}{6}(a+b-2)=\frac{\sqrt{3}}{6}(\frac{c\sin A}{\sin C}+\frac{c\sin B}{\sin C})=\dots