Gamma函数、Weierstrass积和余元公式
ych153
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个人记录
前言
本人是一位初三党，这是我的一篇学习笔记，可能会有许多疏漏，如有不足请指出！
阶乘
阶乘的定义，相信大家都不陌生。正整数n的阶乘定义为：
n!=1\times2\times3\times...\times n
特别的，0!=1。
至于阶乘的用处，可见排列组合教材或者其他一些科普书，这里就不详细展开了，因为这不是本文关注的内容。本文所关注的，是阶乘函数的拓展——\Gamma函数。
\Gamma函数
看了阶乘的定义，我们会自然地想：阶乘的定义域只有自然数吗？能不能计算，比如说，\frac 1 2!是多少？
很不幸，在初等数学中，没有扩展阶乘函数定义域的方法，因为阶乘的定义是较为离散的，依赖于整数，而非整数没有显然的定义方法。不过，学过微积分之后，我们就可以解决这个问题了。
解决问题的关键，就是本文的主角——\Gamma函数。
在许多高等数学书上（像同济大学的《高等数学》），都介绍了\Gamma函数。不过，我们还是用一个简单一点的例子，介绍一下吧——
定义
\Pi(n)=\int_0^{+\infty} t^ne^{-t}\mathrm{d}t
运用分部积分法得
\begin{aligned}
\Pi(n)&=-\int_0^{+\infty} t^n\mathrm{d}(e^{-t})\\
&=-[t^ne^{-t}]_ 0^{+\infty}+\int_0^{+\infty} e^{-t}\mathrm{d}(t^n)\\
&=n\int_0^{+\infty} t^{n-1}e^{-t}\mathrm{d}t\\
&=n\Pi(n-1)
\end{aligned}
其中用到
\lim_{t\to{+\infty}}\frac{t^n}{e^{t}}=0(\text{连用L'Hospital法则})
于是
\begin{aligned}
\Pi(n)&=n(n-1)\int_0^{+\infty} t^{n-2}e^{-t}\mathrm{d}t\\
&=n(n-1)(n-2)\int_0^{+\infty} t^{n-3}e^{-t}\mathrm{d}t\\
&=...\\
&=n!\int_0^{+\infty} e^{-t}\mathrm{d}t\\
&=n!(\text{显然}\lim_{t\to{+\infty}}e^{-t}=1)
\end{aligned}
这是一个极为重要的结论。
而\Gamma函数的定义与上面定义的\Pi函数很相像：
\Gamma(z)=\int_0^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}\mathrm{d}t,z\in\mathbb{C}
那么有
z\Gamma(z)=\Gamma(z+1)
于是可以自然地定义
z!=\Gamma(z+1)
不过，我们暂时只考虑z\in\mathbb{R}的情况。
Weierstrass积
首先，我们先说明下面这个式子：
$$e^{-t}=\lim_{n\to{+\infty}}(1-\frac t n)^n$$
设等式右边的极限为$A$，两边取对数，得
$$
\begin{aligned}
\ln A&=\lim_{n\to{+\infty}}\frac{\ln(1-\frac t n)}{\frac1 n}\\
&=-\lim_{n\to{+\infty}}\frac{nt}{n-t}\\
&=-t(\text{连用L'Hospital法则})
\end{aligned}
$$
故$A=e^{-t}$，即$e^{-t}=\lim_{n\to+\infty}(1-\frac t n)^n$。
下面，把这个式子代入$\Gamma$函数：
$$
\begin{aligned}
\Gamma(z)&=\int_0^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}\mathrm{d}t\\
&=\int_0^{+\infty} t^{z-1}\lim_{n\to{+\infty}}(1-\frac t n)^n\mathrm{d}t\\
&=\lim_{n\to{+\infty}}\int_0^n t^{z-1}(1-\frac t n)^n\mathrm{d}t
\end{aligned}
$$
设极限右侧积分为$I(n,z)$,则
$$
\begin{aligned}
I(n,z)&=\int_0^n t^{z-1}(1-\frac t n)^n\mathrm{d}t\\
&=\frac1 z\int_0^n (1-\frac t n)^n\mathrm{d}(t^z)\\
&=\frac1 z[(1-\frac t n)]_ 0^n-\frac1 z\int_0^n t^z\mathrm{d}(1-\frac t n)^n\\
&=-\frac1 z\int_0^n t^z\mathrm{d}(1-\frac t n)^n\\
&=\frac n{zn}\int_0^n t^z(1-\frac t n)^{n-1}\mathrm{d}t\\
&=\frac n{zn}\frac{n-1}{(z+1)n}\int_0^n t^{z+1}(1-\frac t n)^{n-2}\mathrm{d}t\\
&=...\\
&=\frac{n!\Pi_{k=0}^{n-1}(z+k)^{-1}}{n^n}\int_0^n t^{z+n-1}\mathrm{d}t\\
&=\frac{n!\Pi_{k=0}^{n-1}(z+k)^{-1}}{n^n}[\frac1{z+n}t^{z+n}]_ 0^n\\
&=\frac{n!\Pi_{k=0}^{n-1}(z+k)^{-1}}{n^n}\frac{n^{z+n}}{z+n}\\
&=n!n^z\Pi_{k=0}^n(z+k)^{-1}
\end{aligned}
$$
故
$$
\begin{aligned}
\Gamma(z)&=\lim_{n\to\infty}n!n^z\Pi_{k=0}^n(z+k)^{-1}\\
&=\lim_{n\to{+\infty}}\frac{n^z}z\Pi_{k=1}^n\frac k {z+k}\\
&=\lim_{n\to{+\infty}}\frac{n^z}z\Pi_{k=1}^n(1+\frac zk)^{-1}\\
&=\lim_{n\to{+\infty}}\frac{e^{z\ln n}}z\Pi_{k=1}^n(1+\frac zk)^{-1}\\
&=\lim_{n\to{+\infty}}\frac{e^{\Sigma_{i=1}^n\frac zi-\Sigma_{i=1}^n\frac zi+ z\ln n}}z\Pi_{k=1}^n(1+\frac zk)^{-1}\\
&=\lim_{n\to{+\infty}}[\frac{e^{-z(\Sigma_{i=1}^n\frac1i-\ln n)}}z\Pi_{k=1}^ne^\frac zk(1+\frac zk)^{-1}]
\end{aligned}
$$
考虑到欧拉常数
$$\gamma=\lim_{n\to{+\infty}}\Sigma_{i=1}^n\frac1i-\ln n$$
得
$$
\begin{aligned}
\Gamma(z)&=\lim_{n\to{+\infty}}\frac{e^{-\gamma z}}z\Pi_{k=1}^ne^\frac zk(1+\frac zk)^{-1}\\
&=\frac{e^{-\gamma z}}z\Pi_{k=1}^{+\infty}e^\frac zk(1+\frac zk)^{-1}
\end{aligned}
$$
这就是Weierstrass积。
那Weierstrass积又有什么用呢？它的用处很大——可以证明余元公式。而这，正是下一节的内容。
## 余元公式
先来介绍一下余元公式：
$$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac\pi{\sin\pi z}$$
在此之前，我先不加证明的引入一个定理：（已填坑，见[此处](https://www.luogu.com.cn/blog/ych153/fu-li-xie-ji-shuo-yu-sinx-di-wu-qiong-ji)）
$$\sin\pi z=\pi z\Pi_{k=1}^{+\infty}(1-\frac{z^2}{k^2})$$
下面，将Weierstrass积变形：
$$\Gamma(-z)=\frac{e^{\gamma z}}{-z}\Pi_{k=1}^{+\infty}e^{-\frac zk}(1-\frac zk)^{-1}$$
故
$$
\begin{aligned}
-z\Gamma(z)\Gamma(-z)&=\frac{\Pi_{k=1}^{+\infty}(1-\frac{z^2}{k^2})^{-1}}{z}\\
&=[z\Pi_{k=1}^{+\infty}(1-\frac{z^2}{k^2})]^{-1}\\
&=(\frac{\sin\pi z}\pi)^{-1}\\
&=\frac\pi{\sin\pi z}
\end{aligned}
$$
又因
$$-z\Gamma(-z)=\Gamma(1-z)$$
于是余元公式证毕。
所以说，$\Gamma^2(\frac12)=\frac\pi{\sin\frac\pi2}=\pi$，即$\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$（显然$\Gamma(\frac12)>0$）
于是$\frac12!=\Gamma(\frac32)=\frac12\Gamma(\frac12)=\frac{\sqrt\pi}2$。
## 后记
本文并没有对$\Gamma$函数何时收敛做讨论，至于这一部分内容，可见同济大学的《高等数学》，我也可能写一篇博客说说。另外，本文也没有提到著名的$\zeta$函数。作者毕竟才疏学浅，还没有能力进行讨论，所以这只是一篇本人的学习笔记而已，至于进一步的讨论，还是请去读一些专业的书吧。
希望大家都更上一层楼！