#题解 哥德巴赫猜想（升级版）

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我们先读读题目

题目背景 1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了以下的猜想：任何一个大于9的奇数都可以表示成3个质数之和。质数是指除了1和本身之外没有其他约数的数，如2和11都是质数，而6不是质数，因为6除了约数1和6之外还有约数2和3。需要特别说明的是1不是质数。

这就是哥德巴赫猜想。欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

从此，这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。

题目描述 现在请你编一个程序验证哥德巴赫猜想。

先给出一个奇数n，要求输出3个质数，这3个质数之和等于输入的奇数。

输入格式 仅有一行，包含一个正奇数n，其中9<n<20000

输出格式 仅有一行，输出3个质数，这3个质数之和等于输入的奇数。相邻两个质数之间用一个空格隔开，最后一个质数后面没有空格。如果表示方法不唯一，请输出第一个质数最小的方案，如果第一个质数最小的方案不唯一，请输出第一个质数最小的同时，第二个质数最小的方案。

输入输出样例 输入 #1 2009 输出 #1 3 3 2003 读完题后我们的第一反应是三层嵌套for循环，找到数后判断是否符合题意，但是这未免太麻烦了，如果数据过大就会有超时的风险。有没有更方便的办法？肯定有！！！，在进入正题之前，我们要先了解一件事，那就是所有的质数中，只有一个是偶质数，那就是2，所以只有两种情况： 1.两个二加上一个奇数 2.三个奇数相加 这样我们就可以先把第一情况给写完。

if(n-4 /*是质数*/){ 
        cout << "2" << " " << "2" << " " << n-4;
        return 0;//这里任务已完成，可以退出程序
    }

那如何判断一个数是不是质数呢，用for循环一个一个试？还是用其他质数筛法吧，今天我们尝试使用埃氏筛，埃氏筛的详解请Ctrl+单击访问 https://aaron-mhx.github.io/post/ai-shi-shai/ ，在这儿，我们先加上函数版的埃氏筛：

    bool zs[20100];//指示数组：是否为质数
void ass(){//埃氏筛:埃氏筛详解：https://aaron-mhx.github.io/post/ai-shi-shai/
    memset(zs,1,sizeof(zs));//赋值为“是质数”（真为质数，假为合数） 
    zs[0] = zs[1] = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        if(zs[i]){
            sum ++;
            for(int j = 2; i*j <= n; j++){//质数的倍数都是合数 
                zs[i*j] = 0;
            }
        }

    }
    return;
}

使用埃氏筛的好处有很多：1.只用执行一次，数据调用时只需要访问数组zs就可以了 2.时间复杂度低，仅为O(nloglogn)。所以刚才的代码就可以改成：

    ass(); //调用函数
    if(zs[n-4]){//因为2是唯一的偶质数，单独看。 
        cout << "2" << " " << "2" << " " << n-4;
        return 0;//这里任务已完成，可以退出程序
    }

接下来到了重头戏：第二种情况三个奇质数相加

因为我们已经将偶数排除在外，所以for循环可以从3开始，每次加2，找到第一个数后，zs数组又派上用场了。我们要判断找到的数，是否为质数，是质数才进行下一层循环，下一层循环也是同理。但是找到了前两个数后，第三个数（n-i-j）不也找到了吗，只需要再判断第三个数是不是质数就行了。这是第二种情况的代码：

    for(int i = 3; i < n; i+=2){//优化：除2之外没有其他偶质数
        if(zs[i]){//是质数才执行 
            for(int j =3; j < n-i; j+=2){
                if(zs[j] && zs[n-i-j]){
                    cout << i << " " << j << " " << n-i-j;
                    return 0;
                }
            } 
        } 
    }

接下来，又到了喜闻乐见的完整代码了，还是强调禁止抄袭

#include<bits/stdc++.h>//万能头文件 
using namespace std;
bool zs[20100];//指示数组：是否为质数
int ass(int n){//埃氏筛:埃氏筛详解：https://aaron-mhx.github.io/post/ai-shi-shai/
    int sum = 0;//质数数量 
    memset(zs,1,sizeof(zs));//赋值为“是质数”（真为质数，假为合数） 
    zs[0] = zs[1] = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        if(zs[i]){
            sum ++;
            for(int j = 2; i*j <= n; j++){//质数的倍数都是合数 
                zs[i*j] = 0;
            }
        }

    }
    return sum;
}

//******************************* 
int main(){
    //freopen("1.in","w",stdin);定义输入文件，这个语句执行一次后，一定要注释掉，不然你会疯的
    //freopen("1.in","r",stdin);读取输入文件
    //freopen("1.out","w",stdout);这些比赛时才用得着，了解一下吧
    //**********文件**************

    int n;//这就是我们要分解的那个数 
    cin >> n;
    ass(20010); 
    if(zs[n-4]){//因为2是唯一的偶质数，单独看。 
        cout << "2" << " " << "2" << " " << n-4;
        return 0;//这里任务已完成，可以退出程序
    }
    for(int i = 3; i < n; i+=2){//优化：除2之外没有其他偶质数
        if(zs[i]){//是质数才执行 
            for(int j =3; j < n-i; j+=2){
                if(zs[j] && zs[n-i-j]){
                    cout << i << " " << j << " " << n-i-j;
                    return 0;
                }
            } 
        } 
    }

    return 0;//养成良好的习惯 
}