证明无限个任意图形可以密铺任意图形

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标题的意思是，欧几里得平面上，对于任意有界且有面积的图形A,B（有限段曲线围成的封闭图形），任意\varepsilon>0，都存在一种在B中放置有限个和A相似的图形的方案，满足它们两两不交，并且B中没有被这些图形覆盖的面积不超过总面积的\varepsilon倍。

证明考虑，只需证明B是正方形的情况。那么假设B的面积是1，我们放一个尽可能大的A，它占据B的面积的比例是常数c>0。反证法，如果没被覆盖的比例有下确界k，那么我们放完尽可能大的A之后，可以用正方形逼近剩下的部分（面积为1-c），然后用A逼近它们，那么对于任意t>0，都存在一个方案，使得剩下的部分只有k(1-c)+t的面积没被覆盖。那么整个图形就有k的面积没有被覆盖。由于我们可以选出t使得

k(1-c)+t<k

就导出矛盾，除非k=0。得证。

这个问题是我尝试证明复分析的柯西定理对幂级数成立的时候想到的。

更难的问题: 证明或推翻，存在一列用不交的圆逐渐填满正方形的方案，使得每一个方案中的圆都在后面所有方案中出现。