[ZMO0110]代数式与方程

一只书虫仔 · 2020-03-08 17:01:00 · 个人记录

今天我们来复习代数式与方程。

代数式的元

代数式的元指代数式中的变量，一般有三个思考方向：

• 数量：可以考虑利用方程（有时也会利用不等式）进行消元以减少变量的数量，降低问题的复杂程度。
• 地位：当变量具有对称（\mathtt{symmetrical}）或者轮换（\mathtt{cycle}）的特性时，可以利用这些特征增加一些序关系作为已知条件。
• 主次：对于多变量的问题，有时适当的将一部分变量视为参数，或者将某一变量看作主元可以更集中有效的处理问题。

分解与展开

轮换式的分解与展开

常见的轮换式分解

• (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=2(ab+bc+ca)
• (a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3)=3(a+b)(b+c)(c+a)
• a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
• 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
• (a+b+c)^5-(a^5+b^5+c^5)=5(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)

常见的轮换式展开

• (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
• (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(ab^2+bc^2+ca^2)+(a^2b+b^2c+c^2a)
• (a+b+c)(ab+bc+ca)=(ab^2+bc^2+ca^2)+(a^2b+b^2c+c^2a)+3abc
• (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=a^3+b^3+c^3+(ab^2+bc^2+ca^2)+(a^2b+b^2c+c^2a)
• (a+b)(b+c)(c+a)=(ab^2+bc^2+ca^2)+(a^2b+b^2c+c^2a)+2ab
• (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(ab^2+bc^2+ca^2)+(a^2b+b^2c+ca^2)-(a^3+b^3+c^3)-2abc
• (a-b)(b-c)(c-a)=(ab^2+bc^2+ca^2)-(a^2b+b^2c+c^2a)
• (a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)=(ab^2+bc^2+ca^2)(a^2b+b^2c+c^2a)-a^2b^2c^2=(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)+abc(a^3+b^3+c^3)+2a^2b^2c^2

函数方程

函数方程

含有未知函数的等式叫做函数方程，能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。奇函数、偶函数、周期函数的定义f(x)+f(-x)=0,f(x)-f(-x)=0,f(x+T)=f(x)(T\ne0)都是函数方程，求解函数方程的方法有：换元法、方程组法、待定系数法等。

今天我们就复习到这里。