赌徒们的数学
一只书虫仔
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个人记录
今天我们来聊聊概率。
古典概型
古典概型
若一个试验满足
$2.$**等可能性**：每个样本点发生的可能性是均等的。
我们称这样的试验为**古典概型**。
### 概率的古老定义
对于古典概型，如果样本空间中样本点的总数为$n$，随机事件$A$包含的样本点个数为$m$，其中$m,n\in\mathbb{N}^*$，则
$$P(A)=\dfrac{m}{n}$$
这一定义称为**概率的古典定义**。
## 几何概型
### 几何概型
若将事件$A$理解为区域$\Omega$（样本空间）的某一子区域$A$，$A$的概率只与子区域$A$的几何度量（长度、面积或体积）成正比，则称这样的试验为**几何概型**。在几何概型中，事件$A$的概率定义为
$$P(A)=\dfrac{\mu_A}{\mu_{\Omega}}$$
其中$\mu_\Omega$表示区域$\Omega$的**几何度量**，$\mu_A$表示子区域$A$的**几何度量**。
## 条件概率与独立
### 条件概率与独立事件
对于任何两个事件$A$和$B$，在已知事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率叫做**条件概率**，用符号$P(B|A)$来表示。当$P(A)>0$时，定义
$$P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}$$
设$A,B$为两个事件，如果$P(AB)=P(A)P(B)$，则称事件$A$与事件$B$**相互独立**。对于独立事件有$P(B|A)=P(B)$。
## 离散型随机变量的分布列
### 离散型随机变量
若随机试验可能出现的结果可以用一个变量$X$来表示，并且$X$是随着试验结果的不同而变化的，我们把这样的变量$X$叫做一个**随机变量**。如果随机变量$X$的所有可能的取值都能一一列举出来，则称$X$为**离散型随机变量**。
要掌握一个离散型随机变量$X$的取值规律，必须知道
$1.$ $X$所有可能取得值$x_1,x_2,\cdots,x_n$；
$2.$ $X$取每一个值$x_i$的概率$p_i$，$i=1,2,\cdots,n$。
这就是说，需要列出下表：
| $X$ | $x_1$ | $x_2$ | $\cdots$ | $x_i$ | $\cdots$ | $x_n$ |
| -----------: | -----------: | -----------: | -----------: | -----------: | -----------: | -----------: |
| $P$ | $p_1$ | $p_2$ | $\cdots$ | $p_i$ | $\cdots$ | $p_n$ |
p.s.表格太丑了，[管理也说了](https://www.luogu.com.cn/discuss/show/195149?page=1)，~~凑活看看吧~~
我们称这个表为离散型随机变量$X$的**概率分布**，或称为离散型随机变量$X$的**分布列**。
离散型随机变量的分布列具有如下性质
$1.p_i\geqslant0,i=1,2,\cdots,n$；
$2.\sum\limits_{i=1}^np_i=1$。
## 超几何分布
### 超几何分布
一般地，设有总数为$N$件的两类物品，其中一类有$M$件，从所有物品中任取$n(n\leqslant N)$件，这$n$件中所含这类物品件数$X$是一个离散型随机变量，它取值为$m$时的概率为
$$P(X=m)=\dfrac{\text{C}_M^m\text{C}_{N-M}^{n-m}}{\text{C}_N^n}$$
其中$0\leqslant m\leqslant\min\{M,n\}$。此时称随机变量$X$服从参数$N,M,n$的**超几何分布**，记作$X\sim H(N,M,n)$。
## 二项分布
### 二项分布
一般地，在相同条件下重复做$n$次试验称为$n$次**独立重复试验**。$n$次独立重复试验中，“在相同的条件下”等价于各次试验的结果不会受其它试验影响，即
$$P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_n)$$
其中$A_i(i=1,2,\cdots,n)$是第$i$次试验的结果。
一般地，在$n$次独立重复试验中，设事件$A$发生的次数为$X$，在每次试验中事件$A$发生的概率为$p$，那么在$n$次独立重复试验中，事件$A$恰好发生$k$次的概率为
$$P(X=k)=\text{C}_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,\cdots,n$$
此时称随机变量$X$服从参数为$n,p$的**二项分布**，记作$X\sim B(n,p)$。
好，今天我们就聊到这里。
高中数学总览$\dfrac{2}{3}$大庆！