题解：CF1787D Game on Axis

TCY1234567 · 2026-04-27 15:48:41 · 题解

题解

显然从 i 到 i+a_i 是不好直接维护的，所以我们考虑建图，从 i+a_i 连向 i，那么我们可以发现，这个图的形式是基环内向森林。然后们对于点 1 分讨。

当点 1 在一棵基环树上，即 1 不能结束游戏，此时我们只能对于每一个在 1 的路径上的点，将其修改为能直接结束游戏或者能到达一个可结束游戏的点，这个是好维护的。

当点 1 在一棵树上，即 1 可以结束游戏，此时对于所有不经过点 1 路径的点都可以随意修改，即每一个点都有 2n+1 种情况，对于在 1 路径上的点，可以修改到直接结束游戏的位置或者是所有可到达的，但是不是在起始路径上的点，这个也可以通过预处理求出。最后累加，输出答案即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int vis[200005],a[200005],can[200005],sz[200005];
vector <int> g[400005];
int n;
void dfs(int p,int fa)
{
    if(vis[p]) return;
    vis[p] = fa;
    if(p+a[p]<1||p+a[p]>n)
    {
        can[p] = 1;
        return;
    }
    dfs(p+a[p],fa);
    can[p] = can[p+a[p]];
    return; 
}
void dfs2(int p)
{
    sz[p] = 1;
    for(auto x:g[p])
    {
        dfs2(x);
        sz[p]+=sz[x];
    }
    return;
}
signed main()
{
    int t;
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        int ans = 0;
        scanf("%lld",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            g[i].clear();
            vis[i] = sz[i] = can[i] = 0;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(!vis[i]) dfs(i,i);
        }
        int cnt = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(can[i]) cnt++;
        }
        if(can[1])
        {
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                if(i+a[i]<1||i+a[i]>n) continue;
                g[i+a[i]].push_back(i);
            }
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                if(vis[i]==1&&(i+a[i]<1||i+a[i]>n)) dfs2(i);
            } 
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                if(vis[i]==1)
                    ans += cnt-sz[i]+n+1;
                else
                    ans += n*2+1;
            }
        } 
        else
        {
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                if(vis[i]) ans += (cnt+n+1);
            }
        } 
        printf("%lld\n",ans);
    }
}