圆
Columbula
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个人记录
一、圆的基本概念与性质
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- 圆的定义
- 静态：平面内到定点(圆心 O)距离等于定长(半径 r)的所有点的集合
- 动态：线段 OA 绕端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形
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- 核心要素
- 圆心(O)：确定圆的位置
- 半径(r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，确定圆的大小
- 直径(d）：经过圆心且两端都在圆上的线段，d=2r
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- 相关线段与点
- 弦：连接圆上任意两点的线段(直径是最长弦)
- 弧：圆上任意两点间的部分(优弧、劣弧、半圆)
- 等圆：能够重合的两个圆(半径相等)
- 等弧：在同圆或等圆中，能够重合的弧
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- 圆的对称性
- 轴对称性：过圆心的任意直线都是对称轴(无数条)
- 中心对称性：圆心是对称中心(旋转180°重合)
二、圆的基本性质定理
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- 垂径定理及推论
- 定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧
- 推论：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧
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- 圆心角、弧、弦的关系
- 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
- 推论：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中只要有一组量相等，其余各组量都相等
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- 圆周角定理及推论
- 定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
- 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
- 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
- 推论3：圆内接四边形的对角互补(对角和为180°)
三、直线与圆的位置关系
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- 三种位置关系(设圆心到直线的距离为 d，圆半径为 r)
- 相离：d > r，无公共点
- 相切：d = r，有且只有一个公共点(切点)
- 相交：d < r，有两个公共点(交点)
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- 切线的相关性质与判定
- 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
- 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
- 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角
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- 三角形的内切圆
- 定义：与三角形三边都相切的圆(圆心为内心)
- 内心：三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等
四、圆与圆的位置关系（选学）
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- 五种位置关系（设两圆半径为 R,r(R ≠ r)，圆心距为 d）
- 外离：d > R + r，无公共点
- 外切：d = R + r，有一个公共点
- 相交：|R - r| < d < R + r，有两个公共点
- 内切：d = |R - r|，有一个公共点
- 内含：d < |R - r|，无公共点(同心圆：d=0)
五、正多边形与圆
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- 正多边形的定义：各边相等、各角相等的多边形
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- 正多边形与圆的关系
- 把圆n(n≥3)等分，依次连接各分点得到正 n 边形
- 正多边形的中心：外接圆的圆心；半径：外接圆的半径
- 正多边形的边心距：中心到边的距离（内切圆半径）
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- 正多边形的性质
- 中心角：每个中心角为 \dfrac{360°}{n}
- 对称性：正 n 边形是轴对称图形(n 条对称轴)，偶数边时也是中心对称图形
六、弧长与扇形面积
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- 弧长公式：l = \dfrac{nπr}{180}（n 为圆心角度数，r 为圆的半径）
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- 扇形面积公式
- S扇形 = \dfrac{nπr²}{360}/（n 为圆心角度数，r 为半径）
- S扇形 = \dfrac{1}{2}\times lr（l 为弧长，r 为半径）
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- 圆锥的相关计算
- 圆锥的侧面展开图：扇形(弧长=圆锥底面圆的周长)
- 扇形半径=圆锥的母线长(l)
- 圆锥侧面积：S侧 = πrl(r 为底面圆半径，l 为母线长)
- 圆锥全面积：S全 = S侧 + S底 = πrl + πr²
七、重要数学思想与解题方法
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- 数形结合思想：利用圆的性质结合图形分析数量关系
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- 转化思想：将弧长、扇形面积转化为圆心角、半径的计算
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- 分类讨论思想：直线与圆、圆与圆的位置关系分类分析
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- 辅助线常用做法：连半径(构造等腰三角形)、作直径(构造直角)、作垂线(垂径定理)、连圆心与圆上点(圆周角与圆心角关系)