OI/ACM中会用到的微积分

## -1 写在最前面 微积分是解数学问题的一个十分巧妙的方法，在各类数学相关题目中可以作为一种很好的工具来使用。~~微积分有一个毛病，就是一般是只有ACM题目会考~~。 ## 0 微机分的历史 > **微积分**是长期演变的结果，既不是（像中小学语文课本里说的那样）是由牛顿和莱布尼茨开始的，也不是由他们完成的，但不可否认他们两人在其中起到了决定性作用。 > ——《什么是~~哲~~数学》 微积分是长期演变的结果，当年阿基米德计算球体体积时，就已经有了积分的思想蕴含其中了。 在这篇文章中，笔者会给微积分做一个比较初步的介绍，~~进阶版请出门右转google~~。 ## 1 积分 ### 1.1 将面积看做极限 我们知道，$S_{\text{矩形}}=ab$，其中$a,b$分别为矩形的长和宽。现在给出证明。 > 证明： 设有理数$p=\frac{m}{n}$，$q=\frac{m'}{n'}$，其中$m,m',n,n'\in\mathbb{Z}$为矩形的长、宽。 > 求两边的公度量$\delta=\frac{1}{nn'}$，则$p=mn'\cdot{\delta},q=nm'\cdot{\delta}$。 > 最后，将矩形分为多个边长为$\delta$，面积为$\delta^2$的小正方形，这些正方形共有$nm'\cdot mn'$个。它们的总面积为$$nm'n'm\cdot \delta^2=nm'mn'\cdot\frac{1}{n^2n'^2}=\frac{m}{n}\cdot\frac{m'}{n'}=pq.$$ 如此，若$p,q$为无理数，则我们可以使用数列$\{p_i\},\{q_i\}$来无限接近$p,q$，得到相同的结果。 ### 1.2 积分 微积分，正如其名，它的第一个基本概念就是**积分**。这里，积分被理解为用极限手法取得的曲线下图像面积。 例如 这幅图中，绿油油的那一片（别想歪了）的面积就可以记为$\int_2^6f(x)\text{d}x$，求解这个值的过程就称为**求积分**。 下面通过几个例子展示求积分的基础方法。 #### 1.2.1 $f(x)=1$的积分 即求：$\int_a^bf(x)\text{d}x=S$. 首先，定义$\Delta x=\frac{b-a}{n}$，其中$n$是一个变量，它趋向于$\infty$。 则，有$S=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x=\sum_{i=1}^{n}f(a+i\Delta x)\Delta x$. 带入$f(x)=1$得上式$=\sum_{i=1}^{n}\Delta x=n\Delta x$. 再带入$\Delta x=\frac{b-a}{n}$得$S=b-a$.