OI/ACM中会用到的微积分

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微积分是解数学问题的一个十分巧妙的方法，在各类数学相关题目中可以作为一种很好的工具来使用。微积分有一个毛病，就是一般是只有ACM题目会考。

0 微机分的历史

微积分是长期演变的结果，既不是（像中小学语文课本里说的那样）是由牛顿和莱布尼茨开始的，也不是由他们完成的，但不可否认他们两人在其中起到了决定性作用。

——《什么是哲数学》

微积分是长期演变的结果，当年阿基米德计算球体体积时，就已经有了积分的思想蕴含其中了。

在这篇文章中，笔者会给微积分做一个比较初步的介绍，进阶版请出门右转google。

1 积分

1.1 将面积看做极限

我们知道，S_{\text{矩形}}=ab，其中a,b分别为矩形的长和宽。现在给出证明。

证明： 设有理数p=\frac{m}{n}，q=\frac{m'}{n'}，其中m,m',n,n'\in\mathbb{Z}为矩形的长、宽。

求两边的公度量\delta=\frac{1}{nn'}，则p=mn'\cdot{\delta},q=nm'\cdot{\delta}。

最后，将矩形分为多个边长为\delta，面积为\delta^2的小正方形，这些正方形共有nm'\cdot mn'个。它们的总面积为nm'n'm\cdot \delta^2=nm'mn'\cdot\frac{1}{n^2n'^2}=\frac{m}{n}\cdot\frac{m'}{n'}=pq.

如此，若p,q为无理数，则我们可以使用数列\{p_i\},\{q_i\}来无限接近p,q，得到相同的结果。

1.2 积分

微积分，正如其名，它的第一个基本概念就是积分。这里，积分被理解为用极限手法取得的曲线下图像面积。

例如

这幅图中，绿油油的那一片（别想歪了）的面积就可以记为\int_2^6f(x)\text{d}x，求解这个值的过程就称为求积分。

下面通过几个例子展示求积分的基础方法。

1.2.1 f(x)=1的积分

即求：\int_a^bf(x)\text{d}x=S.

首先，定义\Delta x=\frac{b-a}{n}，其中n是一个变量，它趋向于\infty。

则，有S=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x=\sum_{i=1}^{n}f(a+i\Delta x)\Delta x.

带入f(x)=1得上式=\sum_{i=1}^{n}\Delta x=n\Delta x.

再带入\Delta x=\frac{b-a}{n}得S=b-a.