数学 - 任意可表示图像关于一次函数对称之研究

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理论上可以用这个做对称图片？

先看成果：体验链接。（欢迎来玩，并在评论区发出诡异图片？）

我是一名初二学生，表述非常感性，有问题请在评论区指正。

隐函数是不能直接使用解析式表示，只能使用其他形式表示的函数。例如 x^2+y^2=5，这是一条表示半径为 \sqrt 5 的闭合曲线，上过初二的都知道它不是函数，那我们为什么可以表示它呢？因为它可以用一条式子表示（废话！）。这里我们针对任意可以用式子表示的图像来研究对称性。

关于点的研究（对称核心思想）

成果：体验链接。

对于一个点关于任意直线的对称点，我们考虑对于这个问题找到一个通解以便于之后的推导。设点 (p,q)，已知直线 y=kx+b。常规思路下过这个点的直线若与 y=kx+b 垂直那么就可以容易求出答案。容易求出这条直线就是 y=-\frac{1}{k}x+q+\frac{p}{k}。不难得出交点坐标 (\frac{qk+p-bk}{k^2+1},\frac{qk+p-bk}{k^2+1}k+b)，然后因为这个是中点，所以可以求出最终点坐标是 (\frac{(1-k^2)p+2kq-2kb}{k^2+1},\frac{(k^2-1)q+2kp+2b}{k^2+1})。

关于一次函数的研究（夹角求斜率法）

成果：体验链接。

我们从最简单的一次函数开始研究。问题：已知直线 y=ax+b，以及对称轴 y=cx+d，求对称后的直线解析式 y=a'y+b'（骗你的因为我们不能用代入法得出的隐函数，所以一次函数事实上是最困难的）。已知两点确定一条直线，那么我们考虑已知的点，即 (0,b)。考虑这个对称点在何处，也就是 (0,b) 关于 y=cx+d 的对称点。

然后我们考虑 (0,b) 的那个对称点是什么。直接代入上述式子，得出结果为 (\frac{2c(b-d)}{c^2+1},b-\frac{2(b-d)}{c^2+1})。如果我们知道 a' 的值，那么我们可以直接用这个求出 b'，那么我们考虑如何求 a'。根据对称的性质得，y=ax+b 与 y=cx+d 的夹角等于 y=a'x+b' 与 y=cx+d 的夹角，且 y=ax+b 与 y=a'x+b' 不重合，那么我们可以使用两直线夹角的正切公式：\tan\theta=\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}|，得出 \tan\theta=\frac{c-a}{1+ac}=\frac{a'-c}{1+a'c}，解得 a'=\frac{a(c^2-1)+2c}{1+2ac-c^2}。

最后我们代入原式：y=\frac{a(c^2-1)+2c}{1+2ac-c^2}x+b' 过 (\frac{2c(b-d)}{c^2+1},b-\frac{2(b-d)}{c^2+1})，求得 y=\frac{a(c^2-1)+2c}{1+2ac-c^2}x+\frac{2d(ac+1)-b(c^2+1)}{1+2ac-c^2}。所以没有人觉得我随机调的参很帅吗？

关于二次函数的研究（代入对称点法）

成果：体验链接。

二次函数的确定没有那么简单了，但是还是可以做的，主要是方法要改，但是思路很具有启发性。注意此时结果函数也变成了隐函数，也就是一个被神秘旋转之后的抛物线。因为作者才疏学浅，所以这里不做化简。虽然不是函数，但是我们可以使用一个类似的等式表示（里面带 x,y）。研究的问题如下：有抛物线 y=ax^2+bx+f，以及对称轴 y=cx+d，写出对应的隐函数 G(x,y)。

这里我们有一个可以沿用的方法：函数上点 (x_0,y_0) 解出对称点 (x_0',y_0') 然后代入函数。因为就算结果不是一个函数，但是最终函数总是连续的。我们考虑用点的集合来看问题，(x_0,y_0) 就是原始函数的点集，(x_0',y_0') 是答案的点集，完全对应，那么就可以直接对称出答案，这是对的。我们考虑对应点的位置，由我们上面求出来的一个点关于任意直线的对称点可以得出：最终点坐标为：(\frac{(1-c^2)x_0+2cy_0-2cd}{c^2+1},\frac{(c^2-1)y_0+2cx_0+2d}{c^2+1}) 直接代入我们刚刚的结论，可得一条曲线：

\frac{\left(c^{2}-1\right)y+2cx+2d}{c^{2}+1}=a\left(\frac{\left(1-c^{2}\right)x+2cy-2cd}{c^{2}+1}\right)^{2}+b\left(\frac{\left(1-c^{2}\right)x+2cy-2cd}{c^{2}+1}\right)+f

我们转化为题目要求的答案，也就是：

g(x,y)=a\left(\frac{\left(1-c^{2}\right)x+2cy-2cd}{c^{2}+1}\right)^{2}+b\left(\frac{\left(1-c^{2}\right)x+2cy-2cd}{c^{2}+1}\right)+f-\frac{\left(c^{2}-1\right)y+2cx+2d}{c^{2}+1}

此时符合答案的隐函数图像为 G(x,y)=0，也就是我在上面给出的计算方式。

关于任意多项式 f(x) 图像的研究

成果：体验链接。我们追忆一下我之前的做法。

直接代入我们刚刚的结论，可得一条曲线：

\frac{\left(c^{2}-1\right)y+2cx+2d}{c^{2}+1}=a\left(\frac{\left(1-c^{2}\right)x+2cy-2cd}{c^{2}+1}\right)^{2}+b\left(\frac{\left(1-c^{2}\right)x+2cy-2cd}{c^{2}+1}\right)+f

你发现我们这个东西几乎没有一点技术含量，就是把对称点直接代入了二次函数解析式 y=ax^2+bx+f。考虑转化为多项式 y=f(x)，也就是：

\frac{\left(c^{2}-1\right)y+2cx+2d}{c^{2}+1}=f\left(\frac{\left(1-c^{2}\right)x+2cy-2cd}{c^{2}+1}\right)

然后我们将其转化为隐函数也是容易的。

关于任意隐函数 f(x,y) 图像

这个就更容易了，再代入一遍：

g(x,y)=f\left(\frac{\left(1-c^{2}\right)x+2cy-2cd}{c^{2}+1},\frac{\left(c^{2}-1\right)y+2cx+2d}{c^{2}+1}\right)

符合条件的答案就是 g(x,y)=0。至此，我们推导出了那个 Desmos 对称玩具的原理。全部过程都不超过初中数学，真是太好了。

总结

Desmos 崩了五次（？）全部是测试诡异图像时崩掉了（崩），但还是感谢 Desmos 的大力支持。