《高等数学》第一章第5节习题选做

1. 试用 $\displaystyle \varepsilon$-$\displaystyle \delta$ 的说法证明： (1) $\displaystyle \sqrt{1+x^{2}}$ 在 $\displaystyle x=0$ 连续 首先 $\displaystyle f( 0) =1$，然后考虑 $\displaystyle f( x) -f( 0) =\frac{x^{2}}{1+\sqrt{1+x^{2}}} < \frac{x^{2}}{2}$，因此任取 $\displaystyle \varepsilon >0$，取 $\displaystyle \delta =\sqrt{2\varepsilon }$，则有 $\displaystyle |x|\in ( 0,\delta )$ 内有 $\displaystyle |f( x) -f( 0) |< \varepsilon$，也就有 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0} f( x) =f( 0)$。 3. 设 $\displaystyle y=f( x)$ 在 $\displaystyle ( a,b)$ 上连续，证明 $\displaystyle y=|f( x) |$ 在 $\displaystyle ( a,b)$ 上连续。并问：其逆命题是否成立。 是，因为 $\displaystyle |x|$ 也是连续函数，连续函数的复合依然连续。 逆命题未必成立，考虑 $\displaystyle f( x) =\begin{cases} 1 & x\in \mathbb{Q}\\ -1 & \mathrm{else} \end{cases}$，有 $\displaystyle |f( x) |=1$，但原函数不连续。 4. 适当选取 $\displaystyle a$，使得下列函数处处连续 (1) $\displaystyle f( x) =\begin{cases} \sqrt{1+x^{2}} & x< 0\\ a+x & x\geq 0 \end{cases}$ 解：$\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0^{+}} f( x) =f( 0) =a$，又有 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0^{-}} f( x) =1$，因此 $\displaystyle a=1$。 (2) $\displaystyle f( x) =\begin{cases} \ln( 1+x) & x\geq 1\\ a\cdot \cos \pi x & x< 1 \end{cases}$ 解：右侧有 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{+}} f( x) =f( 1) =\ln 2$，左侧有 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}} f( x) =-a$，因此 $\displaystyle a=-\ln 2$。 5. 利用初等函数的连续性以及定理 3 求下列极限： (1) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }\cos\frac{\sqrt{x+1} -\sqrt{x}}{x}$ 解：$\displaystyle =\cos\left(\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x+1} -\sqrt{x}}{x}\right) =\cos\left(\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{1}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}\right) =\cos 0=1$。 (2) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 2} x^{\sqrt{x}}$ 解：$\displaystyle =\lim _{x\rightarrow 2} e^{\sqrt{x}\ln x} =\exp\left(\lim _{x\rightarrow 2}\sqrt{x}\ln x\right) =\exp\left(\sqrt{2}\ln 2\right) =2^{\sqrt{2}}$。 (3) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0} e^{\frac{\sin 2x}{\sin 3x}}$ 解：$\displaystyle =\exp\left(\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{\sin 3x}\right) =\exp\left(\frac{\lim\limits _{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{x}}{\lim\limits _{x\rightarrow 0}\frac{\sin 3x}{x}}\right) =e^{2/3}$。 (4) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\arctan\frac{\sqrt{x^{4} +8}}{x^{2} +1}$ 解：$\displaystyle =\arctan\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{\sqrt{1+8x^{-4}}}{1+x^{-2}} =\arctan 1=\frac{\pi }{4}$。 (5) $\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\sqrt{\left(\sqrt{x^{2} +1} -\sqrt{x^{2} -2}\right) |x|}$ 解：$\displaystyle =\sqrt{\lim\limits _{x\rightarrow +\infty } x\left(\sqrt{x^{2} +1} -\sqrt{x^{2} -2}\right)} =\sqrt{\lim\limits _{x\rightarrow +\infty }\frac{3x}{\sqrt{x^{2} +1} +\sqrt{x^{2} -2}}} =\sqrt{\frac{3}{2}}$ 6. 设 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}} f( x) =a >0,\lim _{x\rightarrow x_{0}} g( x) =b$，证明 $\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}} f( x)^{g( x)} =a^{b}$； 首先取 $\displaystyle \delta$ 使得 $\displaystyle |f( x) -f( a) |< a,|x-a|< \delta $，那么这段邻域内均有 $\displaystyle f( x) >0$，可以考虑 $\displaystyle f( x)^{g( x)} =\exp( g( x)\ln f( x))$，极限也就为 $\displaystyle \exp( g( a)\ln f( a)) =f( a)^{g( a)}$。 7. 指出下列函数的间断点以及类型，若是可去间断点，修改函数在该点的值变为连续函数。 (1) $\displaystyle f( x) =\cos \pi ( x-\lfloor x\rfloor )$ 间断点是 $\displaystyle x\in \mathbb{Z}$ 处（左极限为 $\displaystyle \cos \pi =-1$，右极限和函数值为 $\displaystyle 1$），第一类 (2) $\displaystyle f( x) =\operatorname{sgn}\sin( x)$ 间断点是 $\displaystyle x=k\pi ( k\in \mathbb{Z})$ 处，取值为 $\displaystyle 0$，两侧极限为 $\displaystyle \pm 1$ 或 $\displaystyle \mp 1$。第一类 (3) $\displaystyle f( x) =\begin{cases} x^{2} & x\neq 1\\ 1/2 & x=1 \end{cases}$ 间断点是 $\displaystyle x=1$，取值为 $\displaystyle 1/2$，两侧极限为 $\displaystyle 1$，修改为 $\displaystyle f( x) =x^{2}$ 后即连续。 (4) $\displaystyle f( x) =\begin{cases} x^{2} +1 & x\in [ 0,1]\\ \sin\frac{\pi }{x-1} & x\in ( 1,2] \end{cases}$ 间断点是 $\displaystyle x=1$，左极限已经函数值是 $\displaystyle 2$，右极限不存在。第二类 (5) $\displaystyle f( x) =\begin{cases} \frac{1}{2-x} & x\in [ 0,1]\\ x & x\in ( 1,2]\\ \frac{1}{1-x} & x\in ( 2,3] \end{cases}$ 在 $\displaystyle x=1$ 处，函数值和左极限为 $\displaystyle 1$，右极限也是 $\displaystyle 1$，故连续。 在 $\displaystyle x=2$ 出，左极限和函数值为 $\displaystyle 2$，右极限为 $\displaystyle -1$，是间断点。第一类 8. 设 $\displaystyle y=f( x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上是连续函数，$\displaystyle y=g( x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上有定义，但在 $\displaystyle x_{0}$ 处间断，问 $\displaystyle h=f+g,\varphi =f\cdot g$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 是否间断？ $\displaystyle h$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处连续 $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle g=h-f$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处连续，而后者不成立，故前者不成立，也就说明 $\displaystyle h$ 必在 $\displaystyle x_{0}$ 处间断。 考虑 $\displaystyle f( x) =0$，那么 $\displaystyle \varphi ( x) =0$，在 $\displaystyle x_{0}$ 处连续，因此无法说明是否间断。