高中数学笔记 - 精妙的解题方法 & 应试要求

liuhaopeng · 2024-12-23 20:50:54 · 学习·文化课

数学笔记全文

修订

精妙的解题方法

常见抽象函数及其模型

f(x\pm y)=f(x)\pm f(y) \implies f(x)=kx\ (k\neq 0)
\forall x_1,x_2 \in \R,\ x_1<x_2,\ f(x_1)-f(x_2)=f(x_1-x_2+x_2)-f(x_2)=f(x_1-x_2)
f(xy)=f(x)+f(y)\ 或 \ f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y) \implies f(x)=\log_a x\ (a>0\ 且 \ a\neq 1)
f(1)=f(1)+f(1)=0\ 且\ f(-1)=f(-1)+(1)=0 f(1)=f(x)+f(\frac{1}{x})=0\ 且\ f(-1)=f(-x)+f(\frac{1}{x})=0 \therefore f(x)=f(-x)
f(xy)=f(x)f(y)\ 或 \ f(\frac{x}{y})=\frac{f(x)}{f(y)} \implies f(x)=x^a
f(x+y)=f(x)f(y)\ 或 \ f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)} \implies f(x)=a^x\ (a>0\ 且 \ a\neq 1)
f(x\pm y)=\frac{f(x)\pm f(y)}{1\mp f(x)f(y)} \implies f(x)=\tan x\ (x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\Z)

求值域

分离常数 \frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c}+\frac{ac-bd}{c^2(x+\frac{d}{c})}

例：求 f(x)=\frac{x^2-x-1}{x^2+x+1} 值域，先求出定义域 \R。
\frac{x^2-x-1}{x^2+x+1}=1-\frac{2x+2}{x^2+x+1},\text{ }$ 令 $g(x)=\frac{x^2+x+1}{2x+2}, f(x)=1-\frac{1}{g(x)} g(x)=\frac{x^2+x+1}{2x+2}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x+2}=\frac{x+1}{2}+\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{2}
对 x 分类讨论后使用基本不等式。
x+1\ge 0, x\ge -1, g(x)\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \\ x+1=0, x=-1, g(x) 无意义，f(x)=1 \\ x+1\le 0, x\le -1, g(x)\leq -\frac{3}{2} \end{cases}
综上所述， g(x)\in (-\infty,-\frac{3}{2}]\bigcup[\frac{1}{2},\infty), \frac{1}{g(x)}\in[-\frac{2}{3},0)\bigcup(0,2]
三角换元（形如 y=\sqrt{ax+b}+\sqrt{cx-d} 求最值）

例：求 y=\sqrt{x-4}+\sqrt{18-3x} 的值域，先求出定义域 [4,6]。

令 x=4+\sin^2\theta 且其中 \theta\in[0,\frac{\pi}{2}]，除去根号可得值域 [\sqrt{2},2\sqrt{2}]。
数形结合（将军饮马，圆，斜率... ）

例 1：求 f(x)=\sqrt{(x-1)^2+4}+\sqrt{(x-2)^2+9} 最小值？

转化为求 (x,0)(1,2)(2,3) 之间的距离答案 \sqrt{26}。

例 2：f(x)=\frac{\sin x-1}{\sqrt{3-2\cos x-2\sin x}}\ (x\in[0,2\pi]) 的最小值？
\because\ \sin^2x+\cos^2x=1\\ \therefore \begin{aligned}f(x)&=\frac{\sin x-1}{\sqrt{\sin^2x-2\sin x+1+\cos^2x-2\cos x+1}}=\frac{\sin x-1}{\sqrt{(\sin x-1)^2+(\cos x-1)^2}}\\&=-\frac{1-\sin x}{\sqrt{(1-\sin x)^2+(1-\cos x)^2}}=-\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{1-\cos x}{1-\sin x})^2}}\end{aligned}
当 \sin x\neq 1 时，令 g(x)=(\frac{1-\cos x}{1-\sin x})^2,f(x)=-\frac{1}{\sqrt{1+g(x)}}，\\ 显然，g(x) 的含义是点 (1,1) 与单位圆上的点 (\sin x,\cos x) 的连线的斜率的平方。

注意到，g(x)\geq 0，所以 f(x)\in [-1,0]。

拉格朗日乘数法

偏导数 - 多元函数的导数

当一个函数有多个自变量时，他们共同影响因变量，我们称之为多元函数。比如 z=f(x,y)=\sin^2x+\cos^2y。

根据导数的定义 \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} 可以类推出偏导数的定义，即

\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\ \ \ \ \ (1) \\ \displaystyle\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}\ \ \ \ \ (2)

其中 (1) 式表示函数 z=f(x,y) 在点 (x,y) 处对 x 的偏导数，(2) 式表示函数 z=f(x,y) 在点 (x,y) 处对 y 的偏导数。

我们想求 f 对 x 的偏导数。如果 f 是一个一元函数，这个导数可以记作 \displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}。

类似地，当 f 是多元函数时，这个偏导数就记作 \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}。

求偏导时，把一个变量当作 x，其他的变量当作常数，再求导数。

\displaystyle E.g.1\ \ \ \ f(x,y)=x+y\ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial x}=1+0=1\ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial y}=0+1=1

\displaystyle E.g.2\ \ \ \ f(x,y)=\sin^2x+\cos^2y\ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial x}=(\sin^2x)'+0=2\cos x\sin x=\sin 2x

拉格朗日乘数法

对于一个函数 f(x,y) 在附加条件 \varphi(x,y)=0 下的极值，可以构造三元函数

L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)

求解下面这个方程组，代回原方程就是他的极值点

\displaystyle\frac{\partial L}{\partial x}=0 \ \ \ \ \ \ \displaystyle\frac{\partial L}{\partial y}=0 \ \ \ \ \ \ \displaystyle\varphi(x,y)=0

例题 1. 已知 x+y=1，求 x^2+y^2 的最值。

常规方法：x^2+y^2=x^2+(1-x)^2=2x^2-2x+1\geq\frac{1}{2}

拉格朗日乘数法：构造 \varphi(x,y)=x+y-1\ \ \ \ \ f(x,y)=x^2+y^2

L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)=x^2+y^2+\lambda(x+y-1)

解方程

\displaystyle\frac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0 \ \ \ \ \ \ \displaystyle\frac{\partial L}{\partial y}=2y+\lambda=0 \ \ \ \ \ \ \displaystyle\varphi(x,y)=x+y-1=0

得到

x=\frac{1}{2}\ \ \ \ \ y=\frac{1}{2}\ \ \ \ \ \lambda=-1

最小值即 \displaystyle f(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\frac{1}{2}。

例题 2. 已知 a,b,c 均为正实数，a^2+b^2+4c^2=1，则 ab+2ac+3\sqrt{2}bc 的最大值为？

\varphi(a,b,c)=a^2+b^2+4c^2-1\ \ \ \ \ f(a,b,c)=ab+2ac+3\sqrt{2}bc

L(a,b,c,\lambda)=ab+2ac+3\sqrt{2}bc+\lambda(a^2+b^2+4c^2-1)

\frac{\partial L}{\partial a}=b+2c+2a\lambda=0

\frac{\partial L}{\partial b}=a+3\sqrt{2}c+2b\lambda=0

\frac{\partial L}{\partial c}=2a+3\sqrt{2}b+8c\lambda=0

\varphi(a,b,c)=a^2+b^2+4c^2-1=0

解得

a=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}\ \ \ \ b=\frac{2}{\sqrt{10}}\ \ \ \ c=\frac{1}{\sqrt{10}}\ \ \ \lambda=-\sqrt{2}

代回得到

f_{\max}=\sqrt{2}

练习 1. 将 12 分为三个正整数 x,y,z 之和，使得 x^3y^2z 最大。（答案：x=6,y=4,z=2 时取最大值 6912 ）

练习 2. 已知过定点 (8,1) 的直线 l 分别交 x 轴正半轴于点 A，y 轴负半轴于点 B，求 |AB| 的最小值。

提示：设 A(a,0),B(0,b) 代入得到 \frac{8}{a}+\frac{1}{b}=1,|AB|^2=a^2+b^2\ \ \ \ \ \text{} 答案：a=10,b=5,|AB|_{\min}=5\sqrt{5}

练习 3. 已知 x^2+y^2+xy=1，求 x+y+xy 的最小值。

注意此处取等条件并非 x=y，答案是 -\frac{5}{4}，取等条件为 \begin{cases} x+y=-\frac{1}{2} \\ xy=-\frac{3}{4} \end{cases}

泰勒展开在比较大小中的应用

常见的几个式子：

e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}\ \ \ (x\geq 0)

e^x\leq 1+x+\frac{x^2}{2}\ \ \ (x\leq 0)

e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}

\ln(x+1)\geq x-\frac{x^2}{2}\ \ \ (x\geq 0)

\sin x\geq x-\frac{x^3}{6}\ \ \ (x\geq 0)

\sin x\leq x-\frac{x^3}{6}\ \ \ (x\leq 0)

\cos x\geq 1-\frac{x^2}{2}

例题：（ 2022 全国甲卷选择压轴）已知 \displaystyle a=\frac{31}{32},b=\cos\frac{1}{4},c=4\sin\frac{1}{4}，比较 a,b,c 的大小。

由 \cos x\geq 1-\frac{x^2}{2} 得 b>1-\frac{(\frac{1}{4})^2}{2}=\frac{31}{32}=a

由 \sin x\geq x-\frac{x^3}{6}\ \ \ (x\geq 0) 得 c>\frac{95}{96}>a

构造函数：取 x=\frac{1}{4}，则 b=\cos x,c=\frac{\sin x}{x}，设 x=\frac{1}{4} 时 \cos x<\frac{\sin x}{x}，构造 f(x)=\sin x-x\cos x\ \ (x>0)

--- - 强制开根号：$\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$。 - 手算根号：首先有一个恒等式 $$\lim_{n\to +\infty}\frac{\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}2n\\ 2k\end{pmatrix}x^k([\sqrt{x}])^{2n-2k}}{\sum_{k=0}^{n-1}\begin{pmatrix}2n\\ 2k+1\end{pmatrix}x^k([\sqrt{x}])^{2n-2k-1}}=\sqrt{x}$$ 可以变形为 $$\lim_{n\to +\infty}(\sqrt{x}-[\sqrt{x}])^{2n}=0$$ 可以令 $(\sqrt{x}-[\sqrt{x}])^{2n}=\epsilon$，则 $\sqrt{x}=\frac{A-\epsilon}{B}$，$A,B$ 为二项式展开后有理项正系数和无理项正系数。注意到 $\frac{\epsilon}{B}$ 很小，可忽略，因此我们就得到了 $\sqrt{x}$ 的分数近似。实际操作：以 $\sqrt{5}\approx 2.236067977$ 举例，令 $t=\sqrt{5}-2

n	1	2	3	4	6	8
t^n	-2+\sqrt{5}	9-4\sqrt{5}	-38+17\sqrt{5}	161-72\sqrt{5}	2889-1292\sqrt{5}	51841-23184\sqrt{5}
	\frac{2}{1}=2	\frac{9}{4}=2.25	\frac{38}{17}\approx 2.235	\frac{161}{72}\approx 2.2361	\frac{2889}{1292}\approx 2.2360681	\frac{51841}{23184}\approx 2.236067978

二维空间中欧几里得距离：|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
三维空间中欧几里得距离：|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}
二维空间中曼哈顿距离：|AB|=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|
二维空间中切比雪夫距离：d(A,B)=\mathrm{max}(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)
欧拉公式： e^{ix}=\cos x+i\sin x, 当 x=\pi 时满足 e^{i\pi}+1=0

推导：e^{-ix}=\cos (-x)+i\sin (-x)=\cos x - i\sin x，两式相加移项得 \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
二项式定理：(a+b)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}C^{i}_{n}a^{n-i}b^i，各二项式系数之和 =2^n，且奇数项 = 偶数项。
\text{Fibonacci}$ 通项公式：$f(x)=\frac{\sqrt{5}}{5}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^x-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^x]
\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\implies$ （合比定理）$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$（分比定理）$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}\implies$（合分比定理）$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}
\sin10\degree\sin30\degree\sin50\degree\sin70\degree=\frac{1}{2}\cos20\degree\cos40\degree\cos80\degree=\frac{2\sin20\degree\cos20\degree\cos40\degree\cos80\degree}{4\sin20\degree}=\frac{2\sin40\degree\cos40\degree\cos80\degree}{8\sin20\degree}=\frac{\sin160\degree}{16\sin20\degree}=\frac{1}{16}
求 y=A\sin(\omega x+\varphi) 或 y=A\cos(\omega x+\varphi) 的单调区间：类似 \set{x|-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq x\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\Z} 求解可得。
(ac+bd)^2\leq(a^2+b^2)(c^2+d^2),a,b,c,d\in\R
已知直线 AB,AC 的解析式，要求它们的角平分线 AT 的解析式有：

\frac{k_{AT}-k_{AB}}{1+k_{AT}\cdot k_{AB}}=\frac{k_{AC}-k_{AT}}{1+k_{AC}\cdot k_{AT}}

化简得：

k_{AT}=\frac{k_{AB}\cdot k_{AC}-1\pm \sqrt{k_{AB}^2\cdot k_{AC}^2+k_{AB}^2+k_{AC}^2+1}}{k_{AB}+k_{AC}}

已知 \Delta ABC 和点 M 满足 \overrightarrow{MB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{MA}+\frac{3}{2}\overrightarrow{MC}=\mathbf{0}，D 为 AB 中点，则 \frac{|\overrightarrow{MD}|}{|\overrightarrow{BM}|}=\ ?

可以将所有点放到一条直线上，让 A,C 两点重合，得出 MB=3MA，显然 \frac{MD}{BM}=\frac{1}{3}。
已知 \mathbf{a}\neq\mathbf{b},|\mathbf{b}|\neq 0,\forall t\in\R 有 |\mathbf{a}-t\mathbf{b}|\geq|\mathbf{a}-\mathbf{b}| 恒成立

则 \sqrt{(\mathbf{a}-t\mathbf{b})^2}\geq\sqrt{(\mathbf{a}-\mathbf{b})^2}\implies\mathbf{b}^2 t^2-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}t+2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}-\mathbf{b}^2\geq 0
\Delta=4(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2-4\mathbf{b}^2(2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}-\mathbf{b}^2)\leq 0\implies\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b})=0,\mathbf{b}\perp(\mathbf{a}-\mathbf{b})
也可使用几何法，转化为垂线段最短。
如果 k,u,v,w>0 并且 \frac{1}{u^2+k}+\frac{1}{v^2+k}+\frac{1}{w^2+k}=\frac{2}{k}，那么
u\sin A+v\sin B+w\sin C\leq \frac{1}{k}\sqrt{(u^2+k)(v^2+k)(w^2+k)}
当且仅当 \frac{u^2+k}{u}\sin A=\frac{v^2+k}{v}\sin B=\frac{w^2+k}{w}\sin C 或者 u\cos A=v\cos B=w\cos C
小球称重问题
1. 有 N 个小球，已知有 1 个小球比其他小球偏重，使用天平，最少要多少次才能确保找到那个小球？（题干改成「偏轻」也可以）
2. 有 N 个小球，已知有 1 个小球和其他小球质量不同，使用天平，最少要多少次才能确保找到那个质量不同的小球（并知道它比其他小球轻还是重）？
3. 有 N 个小球，已知有 1 个小球和其他小球质量不同，使用天平，最少要多少次才能确保找到那个质量不同的小球（无需知道它的轻重）？
答案分别为 \lceil\log_3 N\rceil,\lceil\log_3(2N+3)\rceil,\lceil\log_3(2N+1)\rceil

应试要求

方程两边同除一个数要写明这个数 \neq 0，求 f(x)\neq 0 的解集用 "且" 连接，如求 x^2-2x-3\neq 0 的解集 \implies x\neq 3 且 x\neq -1。
保留 n 位有效数字：从左到右读到第一个不为 0 的数位后向后继续读 (n-1) 位并四舍五入。

如对 0.0168 保留 2 位有效数字：0.017
集合：考虑空集，条件注意是否有写 “不充分” “不必要” 等字眼
不等式：求 (ax+by)_{\min} 且已知 \frac{n}{x}+\frac{m}{y}=k,x>0,y>0，则 ax+by=\frac{(ax+by)(\frac{n}{x}+\frac{m}{y})}{k}，再用基本不等式化简。

写明取等条件，例如 (x=\dots,y=\dots)。
函数：通过奇偶性求函数解析式需检验；写出单调区间时用 , 不用 \bigcup。

比如 "y=\sin x 在第二象限为减函数 " 是错误的，因为第二象限相当于很多个区间取并，即 (\ \ )\bigcup(\ \ )\bigcup...\bigcup(\ \ )，而表示单调性不能用 \bigcup。

求出函数表达式需写定义域，并且必须化至最简。
二分法精确度：f(a)f(b)<0 且 b-a\le \epsilon
第一/二/三/四象限均不包括坐标轴。
使用 A\sin\alpha+B\cos\alpha=\sqrt{A^2+B^2}\sin(\alpha+\arctan{\frac{B}{A}}) 需写详细过程，不可跳步。

\frac{B}{A}<0 时，需检验 \varphi 位于第二象限还是第四象限。
作图题：列表描点，曲线自然，直尺。
应用题：求出函数表达式需写定义域，分类讨论取最大值或最小值时需写明 \because A>B \ \therefore 选A。

如 f(\sqrt{x}+1)=x-2，求 f(x)=x^2-2x-1\ 且\ x\in [1,+\infty)
向量：|\mathbf{t}|=\sqrt{\mathbf{t}^2}；注意向量共线（正向 or 反向）的情况；回答时写明 大小+方向；几何法不行 \to 建系；注意与三角函数结合（三角换元，出现动点注意坐标用三角函数表示... ）；利用初中技巧（倍长中线）。

若已知 \mathbf{a}=(1,2)，则任意平移 \mathbf{a} 得到 \mathbf{b}，因为模长不变，所以 \mathbf{b}=(1,2)。
解三角形：写明 "在...三角形中""由正 / 余弦定理得"；已知 \Delta ABC 先写 A\in(0,\pi)，再写 A=...\degree

注意：已知 \sin x=\sin y，则有两种情况：x=y 或 x=\pi -y。
立体几何：在棱柱（包括长方体，正方体等）中证明时，只能使用直棱柱的侧棱互相平行且相等这一性质，其余均需证明。

在空间中，不能用两组对边分别相等证明平行四边形。
概率：要写明 A,B,\dots 是互斥事件 / 对立事件等。枚举时要写明有序 / 无序，有序用 (A,B)，无序用 AB。记 \dots 为 x_1,x_2，则样本点为 (x_1,x_2)。
解析几何：讨论斜率存在/不存在，联立之后算 \Delta>0。