四次方程求解

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省流：锻炼我的 \LaTeX 水平。

先看看三次方程 ax^3+bx^2+cx+d=0 咋解。

首先是一些简单的转化。

方程两边同除 a 得 x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0。

略微化简得到 (x+\frac{b}{3a})^3+\frac{3ac-b^2}{3a^2}(x+\frac{b}{3a})+\frac{27a^2d-7abc+2b^3}{27a^3}=0

令 t=x+\frac{b}{3a},p=\frac{3ac-b^2}{3a^2},q=\frac{27a^2d-7abc+2b^3}{27a^3}，即 t^3+pt+q=0。

设 t=u+v。

还有两种设法是 t=\omega u+\omega^2v 和 t=\omega^2u+\omega v，可以得出同样的结果，其中 \omega 为三次单位根。

对比原式得 $3uv=-p,u^3+v^3=-q$。 有 $u^3v^3=-\frac{p^3}{27}$，故由 Vieta 定理，$u^3$ 和 $v^3$ 为方程 $x^2+qx-\frac{p^3}{27}$ 的解 这是一个二次方程，则 $u,v=\sqrt[3]{\frac{-q\pm\sqrt{\Delta}}{2}}$，其中 $\Delta=\frac{4p^3+27q^2}{27}$。 故 $t_i=\omega^i\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{\Delta}}{2}}+\omega^{2i}\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}}$。 完整写出来就是： $$\begin{cases}p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}\\q=\frac{27a^2d-7abc+2b^3}{27a^3}\\\Delta=\frac{4p^3+27q^2}{27}\\x_i=\omega^i\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{\Delta}}{2}}+\omega^{2i}\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}}-\frac{b}{3a}\end{cases}$$ 这便是完整的 Cardano 公式。 ::::info[原码] ``` \begin{cases}p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}\\q=\frac{27a^2d-7abc+2b^3}{27a^3}\\\Delta=\frac{4p^3+27q^2}{27}\\x_i=\omega^i\sqrt[3]{\frac{-q+\sqrt{\Delta}}{2}}+\omega^{2i}\sqrt[3]{\frac{-q-\sqrt{\Delta}}{2}}-\frac{b}{3a}\end{cases} ``` :::: 接下来，进入正题。四次方程 $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$。 同样可以作一些简单的化简。 令 $t=x+\frac{b}{4a},p=\frac{8ac-3b^2}{8a^2},q=\frac{8a^2d+b^3-4abc}{8a^3},r=\frac{256a^3e-3b^4+16ab^2c-64a^2bd}{256a^4}$。 则原式可以化为 $t^4+pt^2+qt+r=0$。 进一步化简为 $(t^2+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2}{4}-qt-r$。 引入未知量 $m$。 $(t^2+\frac{p}{2}+m)^2=2m(x^2-\frac{q}{2m}x+\frac{p^2-4r+4pm+4m^2}{8m})

我们希望右边是一个可以配方的形式，也就是说右边等于 (\sqrt{2m}(x-\frac{q}{4m}))^2。

那么我们希望 \frac{q^2}{16m^2}=\frac{p^2-4r+4pm+4m^2}{8m}，稍微整理得 m^3+pm^2+(\frac{p^2}{4}+r)m-q^2。

再令 C=\frac{p^2}{4}+r,P=\frac{3C-p^2}{3},Q=\frac{2p^3-27q^2-7pC}{27},\Delta_1=\frac{4P^3+27Q^2}{27}。

则 m=\sqrt[3]{-Q+\sqrt{\Delta_1}}+\sqrt[3]{-Q-\sqrt{\Delta_1}}-\frac{p}{3}。

那么就有 (t^2+\frac{p}{2}+m)\pm(\sqrt{2m}x-\frac{q}{2\sqrt{2m}})=0，即 t^2\pm\sqrt{2m}x+\frac{p}{2}+m\mp\frac{q}{2\sqrt{2m}}=0。

这是两个二次方程，可以求解。

最后整理得： $$\begin{cases}p=\frac{8ac-3b^2}{8a^2}\\q=\frac{8a^2d+b^3-4abc}{8a^3}\\r=\frac{256a^3e-3b^4+16ab^2c-64a^2bd}{256a^4}\\C=\frac{p^2}{4}+r\\P=\frac{3C-p^2}{3}\\Q=\frac{2p^3-27q^2-7pC}{27}\\\Delta_1=\frac{4P^3+27Q^2}{27}\\m=\sqrt[3]{-Q+\sqrt{\Delta_1}}+\sqrt[3]{-Q-\sqrt{\Delta_1}}-\frac{p}{3}\\\Delta_2=2m-2p-4m\pm_1\sqrt{\frac{2}{m}}q\\x=\frac{\mp_1\sqrt{2m}\pm_2\sqrt{\Delta_2}}{2}-\frac{b}{4a}\end{cases}$$ 有人感兴趣把以上公式完整的写出来吗？ ::::info[原码] ``` \begin{cases}p=\frac{8ac-3b^2}{8a^2}\\q=\frac{8a^2d+b^3-4abc}{8a^3}\\r=\frac{256a^3e-3b^4+16ab^2c-64a^2bd}{256a^4}\\C=\frac{p^2}{4}+r\\P=\frac{3C-p^2}{3}\\Q=\frac{2p^3-27q^2-7pC}{27}\\\Delta_1=\frac{4P^3+27Q^2}{27}\\m=\sqrt[3]{-Q+\sqrt{\Delta_1}}+\sqrt[3]{-Q-\sqrt{\Delta_1}}-\frac{p}{3}\\\Delta_2=2m-2p-4m\pm_1\sqrt{\frac{2}{m}}q\\x=\frac{\mp_1\sqrt{2m}\pm_2\sqrt{\Delta_2}}{2}-\frac{b}{4a}\end{cases} ``` ::::