切丛, 向量场, 微分形式
Gorenstein
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个人记录
切丛, 余切丛
定义 1.3.1\quad设 (M,\mathscr F) 是微分流形，令
\begin{aligned}
T(M):=\bigsqcup_{m\in M}M_m,\qquad T^*(M):=\bigsqcup_{m\in M}M_m^*,
\end{aligned}
称作 M 的切丛和余切丛。存在自然投影
\begin{aligned}
\pi&:\ \,T(M)\to M,&\pi(v)=m,&&\text{if }v\in M_m,\\
\pi^*&:T^*(M)\to M,&\pi^*(\tau)=m,&&\text{if }\tau\in M_m^*.
\end{aligned}
对于 U\subset M 以及 C^{\infty} 映射 f，我们有时简单地记
\begin{aligned}
df:\bigsqcup_{m\in U}M_m&\longrightarrow\mathbb R\\
v&\longmapsto df_{\pi(v)}(v)
\end{aligned}
这种记法不应当与后文作为 1-形式的 df 相混淆。
解释\quad切丛和余切丛有自然的流形结构。设 (U,\varphi)\in\mathscr F 并以 x_1,\cdots,x_d 为坐标函数。对所有 v\in\pi^{-1}(U) 以及 \tau\in(\pi^*)^{-1}(U)，定义
\begin{aligned}
\tilde\varphi:\pi^{-1}(U)&\longrightarrow\mathbb R^{2d}\\
v&\longmapsto\big(x_1(\pi(v)),\cdots,x_d(\pi(v)),dx_1(v),\cdots,dx_d(v)\big),\\
\tilde\varphi^*:(\pi^{*})^{-1}(U)&\longrightarrow\mathbb R^{2d}\\
\tau&\longmapsto\Bigg(x_1(\pi^*(\tau)),\cdots,x_d(\pi^*(\tau)),\tau\bigg(\frac{\partial}{\partial x_1}\bigg),\cdots,\tau\bigg(\frac{\partial}{\partial x_d}\bigg)\Bigg).
\end{aligned}
我们观察到：
- 如果 (U,\varphi),(V,\psi)\in\mathscr F，则 \tilde\psi\circ\tilde\varphi^{-1} 是 C^{\infty} 的。
- 集族 \{\tilde\varphi^{-1}(W):W\text{ open},(U,\varphi)\in\mathscr F\} 构成 T(M) 的一个拓扑基。它使得 T(M) 成为一个第二可数的 2d 维局部欧氏空间。
- 令 \tilde{\mathscr F} 为由局部坐标覆盖 \{(\pi^{-1}(U),\tilde\varphi):(U,\varphi)\in\mathscr F\} 生成的微分结构，则 (T(M),\tilde{\mathscr F}) 成为一微分流形。
构造余切丛 T^*(M) 的流形的方法是类似的。（细节过两天补充）
向量场
定义 1.4.1\quad C^{\infty} 映射 \sigma:(a,b)\to M 成为 M 上的一条光滑曲线。令 t\in(a,b)，则曲线 \sigma 在 t 点的切向量定义为
\dot\sigma(t):=d\sigma\bigg(\frac{d}{dr}\bigg|_t\bigg)\in M_{\sigma(t)}.
若对于映射 \sigma:[a,b]\to M，存在一个 \epsilon>0 使得 \sigma 能扩充为一个 (a-\epsilon,b+\epsilon)\to M 的 C^{\infty} 映射，则也称 \sigma 是一条光滑曲线。若存在 [a,b] 的划分 a=\alpha_0<\cdots<\alpha_n=b 使得 \sigma|_{[\alpha_j,\alpha_{j+1}]} 是光滑曲线，则称 \sigma 分段光滑。切向量的定义视同 (a,b)\to M 时的情形。
定义 1.4.2\quad沿曲线 \sigma:[a,b]\to M 的一个向量场 X 是一个 \sigma 的提升映射 X:[a,b]\to T(M)，即满足 \pi\circ X=\sigma。如果映射 X 是 C^{\infty} 的，则称它为沿 \sigma 的光滑(\boldsymbol{C^{\infty}})向量场。设开集 U\subset M，则 U 上的一个向量场 X:U\to T(M) 是 U 到 M 的提升，即满足 \pi\circ X=\operatorname{id}_U。U 上的向量场 X 是光滑的，指的是 X\in C^{\infty}(U,T(M))。U 上光滑向量场的集合构成一个 U 上 C^{\infty} 函数环 C^{\infty}(U) 的模。
设 m\in U，X 是向量场，则 X(m)\in M_m，简记为 X_m。如果 f\in C^{\infty}(U)，则定义 X(f):U\to\mathbb R,m\mapsto X_m(f)。X(f) 亦是 U 上的函数。
命题 1.4.3\quad令 X 是 M 上的一个向量场。以下论断等价：
-
- 如果 (U,x_1,\cdots,x_d) 是 M 的一个局部坐标系，且 \{a_i\}_1^d 是由
X|_{U}=\sum_{i=1}^da_i\frac{\partial}{\partial x_i}
定义的 U 上的函数族，则 a_i\in C^{\infty}(U)。
- 对于开集 V\subset M，若 f\in C^{\infty}(V)，则 X(f)\in C^{\infty}(V)。
微分形式
定义 2.1.1\quad设 M 是一个光滑流形，定义
\bigwedge^k(M)^*:=\bigsqcup_{m\in M}\bigwedge^k(M_m^*),\qquad\bigwedge(M)^*:=\bigsqcup_{m\in M}\bigwedge(M_m^*).
解释\quad回想：f:M\to\mathbb R 是 C^{\infty} 函数而 m\in M，则 df_m:M_m\to\mathbb R_{f(m)} 将 v 映至 v(f)(d/d r)|_{f(m)}，而自然同构 \mathbb R_{f(m)}\xrightarrow{\sim}\mathbb R 将 v(f)(d/dr)|_{f(m)} 对应到 v(f)。从而 df_m 在这个意义下是 M_m^* 中的元素。特别地，设 (U,\varphi) 为以 y_1,\cdots,y_d 为坐标函数的局部坐标系，则由 M_m^* 的基 \{dy_i|_m:=(dy_i)_m\}_1^d 就可以得到 \bigwedge^k(M_m^*) 和 \bigwedge(M_m^*) 的基。
定义 2.1.2\quad对于从 M 到 \bigwedge^k(M)^* 或 \bigwedge(M)^* 的 C^{\infty} 映射，如果它复合上关于 m 的标准投影映射后是恒等映射，则分别称之为 M 上的 \boldsymbol k-(微分)形式与 M 上的微分形式。
解释\quad提升 \beta:M\to\bigwedge^k(M)^* 是 k-形式，当且仅当对每个局部坐标系 (U,y_1,\cdots,y_d)，它能表示成
\begin{aligned}
\beta:M&\longrightarrow\bigsqcup_{m\in M}\bigwedge^k(M_m^*)\\
m&\longmapsto\sum_{i_1<\cdots<i_k}b_{i_1,\cdots,i_k}(m)\,dy_{i_1}|_m\wedge\cdots\wedge dy_{i_k}|_m.
\end{aligned}
容易看出，诸个 dy_I|_m 给出 \bigwedge^k(M_m^*) 的一组基，其中 I\subset[n],|I|=k。因之诸个 dy_I 给出 C^{\infty}\big(U,\bigsqcup_{m\in M}\bigwedge^k(M_m^*)\big)=C^{\infty}\big(U,\bigwedge^k(M)^*\big) 的一组基，其中后者应当被视为 C^{\infty}(U,\mathbb R)-模。
定义 2.1.3\quad用 E^k(M) 表示 M 上所有光滑 k-形式的集合，E^*(M) 表达所有 M 上微分形式的集合。设 \omega,\varphi\in E^*(M),c\in\mathbb R，定义
\begin{aligned}
\omega+\varphi&:m\longmapsto\omega(m)+\varphi(m)\\
c\omega&:m\longmapsto c\omega(m)\\
\omega\wedge\varphi&:m\longmapsto\omega(m)\wedge\varphi(m),
\end{aligned}
则 \omega+\varphi,c\omega,\omega\wedge\varphi\in E^*(M)。这就给出了 E^*(M) 的一个分次代数结构，其中乘法是对于 \wedge 而言的。\blacksquare
令 \omega\in E^k(M)，则 \omega_m\in\bigwedge^k(M_m^*)。回想：设 V 是 n 维的 K-模，则
\begin{aligned}
\bigwedge^k(\operatorname{Hom}(V,K))&\xrightarrow{\ \sim\ }\operatorname{Hom}\!\bigg(\bigwedge^k(V),K\bigg)\\
\check e_{i_1}\wedge\cdots\wedge\check e_{i_k}&\longmapsto(e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_k})^{\vee}.
\end{aligned}
若 X_1,\cdots,X_k 是 M 上的向量场，则在以上同构意义下，我们定义
\tilde\omega(X_1,\cdots,X_k)(m)=\omega_m(X_1(m)\wedge\cdots\wedge X_k(m)).
记 \mathfrak X(M) 表示 M 上所有光滑向量场构成的 C^{\infty}(M)-模，则上面的定义给出了映射
\tilde\omega:\mathfrak X(M)\times\cdots\times\mathfrak X(M)\to C^{\infty}(M),
其中 \mathfrak X(M) 共有 k 次。进一步有
\tilde\omega\in\operatorname{Alt}_{C^{\infty}(M)}^k\big(\mathfrak X(M),\cdots,\mathfrak X(M);C^{\infty}(M)\big).
反过来，若 \omega 是一个 \mathfrak X(M) 到 C^{\infty}(M) 的交错多重线性映射，则我们断言 \tilde\omega(X_1,\cdots,X_k)(m) 只依赖于 X_1(m),\cdots,X_k(m)，因此它总诱导一个光滑形式 \omega\in E^*(M)。（细节之后补充）
定义 2.1.4\quad设 f\in C^{\infty}(M)，则 df_m 可看成是 M_m^* 中的一个元素，故 df:M\to\bigwedge^1(M)^* 是一个光滑 1-形式。
定义-定理 2.1.5\quad存在唯一一个 +1 阶反导数算子 d:E^*(M)\to E^*(M)，称作外微分，使得
-
- 当 f\in C^{\infty}=E^0(M) 时，df 为 f 的微分。
证明 (存在性)\quad令 p\in M，记 E^*(p) 表示在 p 的开邻域上定义的所有光滑形式的集合，E^k(p) 为相应 k-形式的集合。固定点 p 的一个坐标系 (U,x_1,\cdots,x_d)。如果 \omega\in E^*(p)，则
\omega|_{\operatorname{dom}\omega\cap U}=\sum a_{\Phi}\,dx_{\Phi},
其中 a_{\Phi}\in C^{\infty}((\operatorname{dom}\omega)\cap U)。我们先定义算子 d\omega 在 p 点的取值为
d\omega_p:=\sum da_{\Phi}|_p\wedge dx_{\Phi}|_p\quad\in\bigwedge(M_p^*),
其中对 a_{\Phi} 的“d”被定义为对 p 附近的 C^{\infty} 函数的微分。必须要证明这种定义不依赖于坐标系的选取。首先我们给出以下几个性质：
-
-
-
-
-
其中 1,2,3 条性质是明显的。对于第四条性质，设
\begin{aligned}\omega_1&=\sum_{i_1<\cdots<i_r}f_{i_1,\cdots,i_r}\,dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_r}\\
\omega_2&=\sum g_{\Phi}\,dx_{\Phi},
\end{aligned}
则
\begin{aligned}
d(\omega_1\wedge\omega_2)|_p&=d\,\bigg(\sum_{}f_{i_1,\cdots,i_r}g_{\Phi}\,dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_r}\wedge dx_{\Phi}\bigg)\bigg|_p\\
&=\sum_{\{i_1,\cdots,i_r\},\Phi}d(f_{i_1,\cdots,i_r}g_{\Phi})|_p\wedge(dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_r}\wedge dx_{\Phi})|_p\\
&=\sum_{I_r=\{i_1,\cdots,i_r\},\Phi}(g_{\Phi}(p)\,df_{i_1,\cdots,i_r}+f_{i_1,\cdots,i_r}(p)\,dg_{\Phi})|_p\wedge(dx_{I_r}\wedge dx_{\Phi})|_p\\
&=\sum_{I_r,\Phi}g_{\Phi}(p)\,df_{I_r}|_p\wedge(dx_{I_r}\wedge dx_{\Phi})|_p+\sum_{I_r,\Phi}f_{I_r}(p)\,dg_{\Phi}|_p\wedge(dx_{I_r}\wedge dx_{\Phi})|_p\\
&=d\omega_1|_p\wedge\omega_2|_p+\sum_{I_r,\Phi}f_{I_r}(p)\,dg_{\Phi}|_p\wedge(dx_{I_r}\wedge dx_{\Phi})|_p\\
&=d\omega_1|_p\wedge\omega_2|_p+(-1)^r\sum_{I_r,\Phi}f_{I_r}(p)(dx_{I_r}\wedge dg_{\Phi}\wedge dx_{\Phi})|_p\\
&=d\omega_1|_p\wedge\omega_2|_p+(-1)^r\omega_1|_p\wedge d\omega_2|_p.
\end{aligned}
这就证明了第四条性质。最后一条性质成立则是因为混合偏导数相等：
\begin{aligned}
d(df)|_p&=\sum d\bigg(\frac{\partial f}{\partial x_i}\bigg)\bigg|_p\wedge dx_i|_p\\
&=\sum_{i,j}\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}(p)\,dx_j|_p\wedge dx_i|_p\\
&=\sum_{j<i}\left(\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}(p)-\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(p)\right)dx_j|_p\wedge dx_i|_p\\
&=0.
\end{aligned}
现在可以断言 d 在 p 点的定义不依赖于坐标系的选取。设 d' 是在另一个坐标系下定义的，则
\begin{aligned}
d'\omega_p&=d'\,\bigg(\sum_{r,\Phi:|\Phi|=r}a_{\Phi}\,dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_r}\bigg)\bigg|_p\\
&=\sum_{r,\Phi:|\Phi|=r}d'(a_{\Phi}\,dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_r})|_p\\
&=\sum_{r,\Phi:|\Phi|=r}d'(a_{\Phi})|_p\wedge dx_{i_1}|_p\wedge\cdots\wedge dx_{i_r}|_p\\
&\quad+\sum_{r,\Phi,k:|\Phi|=r,k\leq r}(-1)^{k-1}dx_{i_1}|_p\wedge\cdots\wedge d'(dx_{i_k})|_p\wedge\cdots\wedge dx_{i_r}|_p\\
&=\sum_{r,\Phi:|\Phi|=r}d(a_{\Phi})|_p\wedge dx_{i_1}|_p\wedge\cdots\wedge dx_{i_r}|_p\\
&=d\omega_p.
\end{aligned}
其中 d'(dx_{i_k})|_p=0，因为 x_{i_k} 是 C^{\infty} 函数而 dx_{i_k} 是它的微分；而 a_{\Phi}\in E^0(p)=C^{\infty}，故 d'(a_{\Phi})=d(a_{\Phi}) 为 a_{\Phi} 的微分。上面的推导指出 d'=d，因此这般定义不依赖于坐标系的选取。最后，设 \omega\in E^*(M)，它在 p 的一个坐标邻域上具有形式 \omega=\sum a_{\Phi}\,dx_{\Phi}，则
d(d\omega)|_p=\sum d(da_{\Phi}|_p\wedge dx_{\Phi})|_p=0,
从而这般定义的 d 就是 E^*(M) 上一个满足条件的算子。
(唯一性)\quad略。\square
定义-定理 2.1.6\quad令 \psi:M\to N 是一个光滑映射，则
-
-
其中，拉回 \psi^* 通过这种步骤构造：首先，对每个 m\in M，d\psi_m:M_m\to N_{\psi(m)} 诱导了一个对偶的态射 \delta\psi_m:N_{\psi(m)}^*\to M_m^*，我们由此定义
\begin{aligned}
\delta\psi:M&\longrightarrow\bigsqcup_{m\in M}\operatorname{Hom}(N_{\psi(m)}^*,M_m^*)\\
m&\longmapsto\delta\psi_m,
\end{aligned}
对于 \omega\in E^*(N)，令
\begin{aligned}
\psi^*(\omega):M&\longrightarrow\bigsqcup_{m\in M}\bigwedge(M_m^*)\\
m&\longmapsto\bigwedge(\delta\psi_m)(\omega_{\psi(m)}),\\
\end{aligned}
其中 \bigwedge(\delta\psi_m) 是模同态 \delta\psi_m 诱导的代数同态。于是根据 [\omega\mapsto\psi^*(\omega)] 就得到了 \psi^*:E^*(N)\to E^*(M)。对于 m\in M，其总过程是
\begin{aligned}
M&\xrightarrow{\psi}N\xrightarrow{\quad\omega\quad}\bigsqcup_{n\in N}\bigwedge(N_n^*)\xrightarrow{\qquad}\bigsqcup_{m\in M}\bigwedge(M_m^*)\\
m&\longmapsto\psi(m)\longmapsto\omega_{\psi(m)}\xmapsto{\,\;\;\;\;\bigwedge(\delta\psi_m)\;\;\;\;\,}\psi^*(\omega)|_m.
\end{aligned}
证明\quad容易发现这般定义的 \psi^* 确实是代数同态。另一方面，\delta\psi_m 将 dx_i|_{\psi(m)}\in N_{\psi(m)}^* 映为 dx_i|_{\psi(m)}\circ d\psi_m(\cdot)，从而
\begin{aligned}
d(\psi^*(\omega))|_m&=d\,\bigg(\sum_{r,\Phi}(a_{\Phi}\circ\psi)\,d(x_{i_1}\circ\psi)\wedge\cdots\wedge d(x_{i_r}\circ\psi)\bigg)\bigg|_{m}\\
&=\sum_{r,\Phi}(d(a_{\Phi}\circ\psi)\wedge d(x_{i_1}\circ\psi)\wedge\cdots\wedge d(x_{i_r}\circ\psi))|_m\\
&=\psi^*\bigg(\sum_{r,\Phi}da_{\Phi}\wedge dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_r}\bigg)\bigg|_m\\
&=\psi^*(d\omega)|_m.
\end{aligned}
这就证明了 \psi^* 与 d 是交换的。\square