泰勒展开
_abcd_
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个人记录
定义 f^{(a)}(x) 表示 f(x) 的 a 次导数。
对无限可微的函数 f(x) 和定义域内的实数 a，在收敛半径内的实数 x，有
f(x) = \sum\limits_{k \ge 0} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k
这个就是 f(x) 以 a 为中心的泰勒展开式。
\textbf{Example}
考虑 (x+1)^n 以 0 为中心的泰勒展开式，有
(x+1)^n = \sum\limits_{k \ge 0} \frac{n^{\underline{k}} 1^{n-k}}{k!} x^k = \sum\limits_{k \ge 0} \binom{n}{k} x^k
即二项式定理。
\textbf{Example}
考虑 \frac{1}{1-x} 以 0 为中心的泰勒展开式，有
\frac{1}{1-x} = \sum\limits_{k \ge 0} \frac{k! 1^{-k-1}}{k!} x^k = \sum\limits_{k \ge 0} x^k
泰勒定理
\text{Theorem.1 维尔斯特拉斯定理}
对在闭区间 [a,b] 上的连续函数，在这个区间上取最大值和最小值。
\text{Theorem.2 罗尔定理}
若 f(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 上可微，且 f(a) = f(b)，则
\exists c \in (a,b), f'(c) = 0
\textbf{Proof:}
若 f(x) 在 a,b 上取极大值，则令 f(x) 在 c 上取极小值，那么显然
\forall h>0, \frac{f(c+h) - f(c)}{h} > 0 \Rightarrow f'(c) \ge 0, \frac{f(c) - f(c-h)}{h} < 0 \Rightarrow f'(c) \le 0
因此 f(c) = 0。
若 f(x) 在 a,b 上不取极大值，则令 f(x) 在 c 上取极大值即可。
\text{Theorem.3 泰勒定理}
若对任意 k \le n，有 f^{(k)} 在 [a,b] 上连续，且 f^{(n+1)} 在 (a,b) 上存在，令
f(b) = \sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (b-a)^k + R_{n+1}
则
\exists c \in (a,b), R_{n+1} = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (b-a)^{n+1} \tag{1}
\exists c \in (a,b), R_{n+1} = \frac{f^{(n+1)}(c)}{n!} (b-c)^n (b-a) \tag{2}
\textbf{Proof:}
设
g(x) = f(b) - \sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x)}{k!} (b-x)^k
则 g(x) 在 [a,b] 上连续，(a,b) 上可微，因此
g'(x) = - f'(x) - \sum\limits_{k=1}^n \left( \frac{f^{(k)}(x)}{k!} (b-x)^k \right)'
= - f'(x) - \sum\limits_{k=1}^n \left( \frac{f^{(k+1)}(x)}{k!} (b-x)^k - \frac{f^{(k)}(x)}{(k-1)!} (b-x)^{k-1} \right)
= - \frac{f^{(n+1)}(x)}{n!} (b-x)^n
其中
g(a) = R_{n+1}, g(b) = 0
设
F(x) = g(x) - K(b-x)^{n+1}
以满足 F(a) = F(b) = 0，那么
K = \frac{g(a)}{(b-a)^{n+1}} = \frac{R_{n+1}}{(b-a)^{n+1}}
根据罗尔定理，有
\exists c \in (a,b), F'(c) = 0
即
F'(c) = g'(c) + (n+1) K (b-c)^n
= - \frac{f^{(n+1)}(c)}{n!} (b-c)^n + (n+1) \frac{R_{n+1}}{(b-a)^{n+1}} (b-c)^n = 0
R_{n+1} = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (b-a)^{n+1}
类似的，令
G(x) = g(x) - L(b-x)
有 G(a) = G(b) = 0，则
L = \frac{g(a)}{b-n} = \frac{R_{n+1}}{b-a}
因此
\exists c \in (a,b), G'(c) = g'(c) + L = - \frac{f^{(n+1)}(c)}{n!} (b-c)^n + \frac{R_{n+1}}{b-a} = 0
R_{n+1} = \frac{f^{(n+1)}(c)}{n!} (b-c)^n (b-a)
其中 (1) 中的 R_{n+1} 为拉格朗日型剩余项，(2) 中的为柯西型剩余项，下文中默认 R_{n+1} 为拉格朗日型剩余项。
\textbf{Example}
令 n=0，有
R_1 = f'(c_0) (b-a)
即
f'(c_0) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}
也就是拉格朗日中值定理。
令 b-a=h，设 c = a + \theta h, 0 < \theta < 1，那么就有
R_{n+1} = \frac{f^{(n+1)}(a + \theta h)}{(n+1)!} h^{n+1} \tag{1}
R_{n+1} = \frac{f^{(n+1)}(a + \theta h)}{n!} (1 - \theta)^n h^{n+1} \tag{2}
通过分讨可得在 h<0 时结论也成立。
\text{Theorem.4}
若 f(x) 在 (p,q) 上 n+1 次可微，则对 a \in (p,q)，有
\forall x \in (p,q), f(x) = \sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k + R_{n+1}
其中
R_{n+1} = \frac{f^{(n+1)} (a + \theta (x-a))}{(n+1)!} (x-a)^{n+1} \tag{1}
R_{n+1} = \frac{f^{(n+1)} (a + \theta (x-a))}{n!} (1 - \theta)^n (x-a)^{n+1} \tag{2}
\text{Theorem.5 麦克劳林定理}
将 \text{Theorem.4} 中的 a 设为 0，就有
R_{n+1} = \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1} \tag{1}
R_{n+1} = \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{n!} (1 - \theta)^n x^{n+1} \tag{2}
展开的条件
若 f(x) 在 (p,q) 可微任意次，且
\forall x \in (p,q), \lim\limits_{n \to \infty} R_{n+1} = 0
则
f(x) = \sum\limits_{k \ge 0} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k
即 f(x) 以 a 为中心的泰勒展开式，特别的，令 a=0，则有
f(x) = \sum\limits_{k \ge 0} \frac{f^{(k)}(x)}{k!} x^k
即 f(x) 的麦克劳林展开式。
\text{Theorem.6}
设数列 \{ a_n \} 不含 0，则
$$ \forall n \ge N, \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < r < 1 $$
则 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$。
$2.$ 若
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1 $$
则 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$。
$\textbf{Proof:}
$$ | a_{N+1} | < r | a_N | $$
$$ | a_{N+2} | < r | a_{N+1} | < r^2 | a_N | $$
$$ | a_{N+3} | < r | a_{N+2} | < r^3 | a_N | $$
即
$$ | a_{N+k} | < r^k | a_N | $$
又 $0<r<1$，因此
$$ 0 \le \lim\limits_{n \to \infty} | a_n | \le (\lim\limits_{k \to \infty} r^k) | a_N | = 0 $$
即
$$ \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0 $$
$2.$ 令 $\lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = b$，则存在自然数 $N$ 和实数 $\varepsilon < 1-b$，使得
$$ \forall n \ge N, \left| \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| - b \right| < \varepsilon $$
令 $r = b + \varepsilon$，则
$$ \forall n \ge 0, \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < r < 1 $$
---
对 $c \ne 0$，令
$$ a_n = \frac{c^n}{n!} $$
则
$$ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{\frac{|c|^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{|c|^n}{n!}} = \frac{|c|}{n+1} $$
因此
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 0 < 1 $$
由 $\text{Theorem.6}$ 可得
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{c^n}{n!} = 0 $$
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### $\text{Theorem.7}
若 f(x) 在 (p,q) 内可微任意次，且 \forall x \in (p,q)，存在 M 使得 \forall n, \left| f^{(n)}(x) \right| \le M，则 \forall x \in (p,q)，可以对 f(x) 进行泰勒展开。
\textbf{Proof:}
令
f(x) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k + R_n
则
| R_n | = \frac{| f^{(n)}(a + \theta (x-a)) |}{n!} |x-a|^n \le M \frac{|x-a|^n}{n!}
又
\lim\limits_{n \to \infty} \frac{|x-a|^n}{n!} = 0
所以
\lim\limits_{n \to \infty} R_{n+1} = 0
一些例子
e^x 的展开
设 f(x) 在 (- \infty, + \infty) 上任意次可微，且
\forall k \ge 0, f^{(k)}(x) = e^x, f^{(k)}(0) = 1
则
\forall k \ge 0, f^{(k)}(0) = e^0 = 1
有
e^x = \sum\limits_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} + R_{n+1}
R_{n+1} = \frac{e^{\theta x}}{(n+1)!} x^{n+1}
对任意正数 p，对 x \in (-p,p)，有
0 < f(x) < e^p
根据 \text{Theorem.7}，有任意 x \in (-p,p)，f(x) 可以泰勒展开，而又 p 可以取任意大，因此 \forall x \in (- \infty, + \infty)，f(x) 可以泰勒展开。
\textbf{Example}
证明
\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^a}{e^x} = 0
\textbf{Proof:}
对正实数 a，取 n > a+1
由于
e^x > \sum\limits_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} > \frac{x^n}{n!}
因此当 x>1 时，有
0 < \frac{x^a}{e^x} < \frac{x^{n-1}}{e^x} < \frac{n! x^{n-1}}{x^n} = \frac{n!}{x}
而
\lim\limits_{x \to \infty} \frac{n!}{x} = 0
所以
\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^a}{e^x} = 0
\textbf{Example}
证明 e 为无理数。
\textbf{Proof:}
假设 e = \frac{p}{q}，其中 p,q 为自然数，则
q! (\sum\limits_{k \ge q+1} \frac{1}{k!}) = q! (e - \sum\limits_{k=0}^q \frac{1}{k!}) = p (q-1)! - \sum\limits_{k=0}^q q^{\underline{k}}
显然右式为整数，但又有
0 < q! (\sum\limits_{k \ge q+1} \frac{1}{k!}) = \sum\limits_{k \ge 0} \frac{1}{(q+1)^{\overline{k}}} < \sum\limits_{k \ge 1} \frac{1}{(q+1)^k} = \frac{1}{q} < 1
这显然不可能，因此 e 为无理数。
\sin x 的展开
令 f(x) = \sin x，则
f'(x) = \cos x, f''(x) = - \sin x, f'''(x) = - \cos x, f''''(x) = \sin x, \cdots
在 0 处进行泰勒展开，就有
f(x) = \sum\limits_{k=0}^n \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2n+3}
其中
R_{2n+3} = \frac{(-1)^{n+1} \cos \theta x}{(2n+3)!} x^{2n+3}
由于
\forall x \in (- \infty, + \infty), k, | f^{(k)}(x) | \le 1
根据 \text{Theorem.7}，\forall x \in (- \infty, + \infty)，f(x) 可以泰勒展开，因此
\sin x = \sum\limits_{k \ge 0} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}
\cos x 的展开
类似于 \sin x，有
\cos x = \sum\limits_{k \ge 0} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}