[ZMO0110]函数迭代与函数方程

一只书虫仔 · 2020-03-18 16:20:06 · 个人记录

今天我们来复习函数迭代与函数方程。

不动点

函数的不动点

对于函数 y=f(x) ，方程 f(x)=x 的解称为函数 f(x) 的一阶不动点，简称为不动点。不动点即函数图象与 y=x 的图象的交点的横坐标。

二阶不动点

二阶不动点的概念

方程 f(f(x))=x 的根称为函数 f(x) 的二阶不动点。当然我们也可以以此类推定义 n 阶不动点。

二阶不动点的研究方法

方程 f(f(x))=x 的解为曲线 y=f(x) 与曲线 x=f(y) （这两条曲线关于直线 y=x 对称）的交点的横坐标。

二阶不动点的性质

• 单调递增函数的二阶不动点必然是不动点。
• 连续函数存在二阶不动点的必要条件是存在不动点。

迭代函数的解析式

一次函数的迭代

设 f(x)=ax+b ，其中 a,b 是两个常数且 a\ne1 ，则

常见的迭代周期

• 若 f(x)=\dfrac{ax+b_1}{b_2x-a} ，则 f(f(x))=x ；
• 若 f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d} 满足 a^2+2bc+d^2=0 ，则 f_4(x)=x 。

抽象函数

抽象函数的概念

没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。抽象函数问题通常给出抽象函数满足的一些函数方程或性质，去研究它满足的其他性质。解决抽象函数问题可以借助函数原型，也可以通过所给条件与所求解的问题，对已知的函数方程进行适当的赋值。

抽象函数常见函数原型

函数原型可以给我们解决抽象函数问题带来思路与启发，但不能证明满足这样的函数方程就一定是这些函数，这需要更多的条件与知识。

函数方程

函数方程

含有未知函数的等式叫做函数方程，能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解 。奇函数，偶函数，周期函数的定义都是函数方程，求解函数方程的方法有：换元法，方程组法，待定系数法等。

好，今天我们就复习到这里。