这么丑的积分表是怎么得到的？

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本文记录笔者在学积分表时的一些观察，希望能通过对结构的解析而非形式背诵来记忆与理解积分表。因个人能力有限，可能解法不优。如有可改进之处，还请不吝赐教。

含有 a+bx(b \neq 0) 的不定积分

这一类积分普遍的处理方式是将分式拆解为 \frac{1}{(a+bx)^n} 型。

\color{blue} \int \frac{x\text{d}x}{(a+bx)^n}=\frac{1}{b^2}\left[\frac{a}{(n-1)(a+bx)^{n-1}}-\frac{1}{(n-2)(a+bx)^{n-2}}\right],n \geq 3

如果分子是 1 而非 x，这个积分是很好算的：

\begin{aligned} \int \frac{\text{d}x}{(a+bx)^n}&=\frac{1}{b}\int\frac{\text{d}(a+bx)}{(a+bx)^n}\\ &=\frac{1}{b(1-n)(a+bx)^{n-1}} \end{aligned}

所以考虑做下面这样的拆分：

\begin{aligned} \frac{x}{(a+bx)^n}=\frac{1}{b}\left[\frac{1}{(a+bx)^{n-1}}-\frac{a}{(a+bx)^n}\right] \end{aligned}

两边同时积分就得到表里的式子。

特别地，当 n=2 时第一项的积分为 \ln，故还有：

\color{red} \int \frac{x\text{d}x}{(a+bx)^2}=\frac{1}{b^2}\left(\frac{a}{a+bx}+\ln|a+bx|\right)

\color{blue} \int \frac{x^2\text{d}x}{(a+bx)^n}=\frac{1}{b^3(a+bx)^{n-1}}\left[-\frac{a^2}{n-1}+\frac{2a(a+bx)}{n-2}-\frac{(a+bx)^2}{n-3}\right]

对上者的拙劣模仿罢了：

\frac{x^2}{(a+bx)^n}=\frac{1}{b^2}\left[\frac{1}{(a+bx)^{n-2}}-\frac{2a}{(a+bx)^{n-1}}+\frac{a^2}{(a+bx)^n}\right]

特别地，当 n=3 时第一项的积分为 \ln，故还有：

\color{red} \frac{x^2\text{d}x}{(a+bx)^3}=\frac{1}{b^3}\left[-\frac{a^2}{2(a+bx)^2}+\frac{2a}{a+bx}+\ln|a+bx|\right]

含有 a^2 \pm x^2(a \neq 0) 的不定积分

\color{blue} \int \frac{\text{d}x}{(a^2 \pm x^2)^n}=\frac{1}{2a^2(n-1)}\left[ \frac{x}{(a^2 \pm x^2)^{n-1}} + \int \frac{(2n-3)\text{d}x}{(a^2 \pm x^2)^{n-1}} \right],n \geq 2

注意到 \pm x^2=(a^2 \pm x^2)-a^2，就是说分子凑出 x^2 时，我们就可以把分子消回常数。于是就能解出 I_n=\int \frac{\text{d}x}{(a^2 \pm x^2)^n} 的一个递推式。

怎么把分子凑出 x^2 ?

考虑 \frac{1}{(a^2 \pm x^2)^n} 求导后应该形如 \frac{kx}{(a^2 \pm x^2)^{n+1}}，对 1 \cdot \frac{1}{(a^2 \pm x^2)^n} 分部积分就能在分子造出 x^2 了。

\begin{aligned} I_n&=\frac{x}{(a^2 \pm x^2)^n} + \int \frac{\pm 2nx^2 \text{d}x}{(a^2 \pm x^2)^{n+1}}\\ &=\frac{x}{(a^2 \pm x^2)^n} + 2nI_n - 2a^2nI_{n+1}\\ 2a^2nI_{n+1}&=\frac{x}{(a^2 \pm x^2)^n}+(2n-1)I_n\\ 2a^2(n-1)I_n&=\frac{x}{(a^2 \pm x^2)^{n-1}} + (2n-3)I_{n-1} \end{aligned}

当 n=1 时，通过平凡的三角换元可以得到：

\color{red} \begin{aligned} \int \frac{\text{d}x}{a^2+x^2}&=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\\ \int \frac{\text{d}x}{a^2-x^2}&=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x+a}{x-a}\right| \end{aligned}

含有 \sqrt{a+bx}(b \neq 0) 的不定积分

这一类积分普遍的处理方式是分部积分后把 a+bx 拆开得到递推式。

\color{blue} \int x^n\sqrt{a+bx}\text{d}x=\frac{2}{b(2n+3)}\left[ x^n(a+bx)^{\frac{3}{2}}-na\int x^{n-1}\sqrt{a+bx}\text{d}x \right]

考虑分部积分（当然是对 x^n 求导）后会得到什么？

应该是 kx^{n-1}(a+bx)^{\frac{3}{2}} 的形式，我们把它拆开（记 I_n=\int x^n\sqrt{a+bx} \text{d}x）：

\int x^{n-1}(a+bx)^{\frac{3}{2}} \text{d}x=aI_{n-1}+bI_n

移一下项就直接得到所求式了。

\color{blue} \int \frac{x^n}{\sqrt{a+bx}}\text{d}x=\frac{2}{b(2n+1)}\left[ x^n\sqrt{a+bx}-na \int \frac{x^{n-1}}{\sqrt{a+bx}}\text{d}x \right],n \geq 2

跟上一个基本一样，不再赘述。

特别地，当 n=1 时，有：

\color{red} \int \frac{x}{\sqrt{a+bx}}\text{d}x = \frac{2(bx-2a)}{3b^2}\sqrt{a+bx}

\color{blue} \int \frac{\text{d}x}{x^n\sqrt{a+bx}}=\frac{-1}{a(n-1)}\left[ \frac{\sqrt{a+bx}}{x^{n-1}} + \frac{b(2n-3)}{2}\int \frac{\text{d}x}{x^{n-1}\sqrt{a+bx}} \right],n \geq 2

跟上面很像，考虑分部积分后应该是 \frac{k\sqrt{a+bx}}{x^{n+1}} 的形式（记 I_n=\int \frac{\text{d}x}{x^n\sqrt{a+bx}}）：

\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{a+bx}\text{d}x}{x^{n+1}}&=\int (a+bx)\frac{\text{d}x}{x^{n+1}\sqrt{a+bx}}\\ &=aI_{n+1}+bI_n \end{aligned}

移项可得所求式。

特别地，n=1 时有：

\color{red} \int \frac{\text{d}x}{x\sqrt{a+bx}}= \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{-a}}\arctan\sqrt{\frac{a+bx}{-a}}&(a<0)\\ \frac{1}{\sqrt{a}}\ln\left| \frac{\sqrt{a+bx}-\sqrt{a}}{\sqrt{a+bx}+\sqrt{a}} \right|&(a>0) \end{cases}

\color{blue} \int \frac{\sqrt{a+bx}\text{d}x}{x^n}=\frac{-1}{a(n-1)}\left[ \frac{(a+bx)^{\frac{3}{2}}}{x^{n-1}} + \frac{b(2n-5)}{2}\int \frac{\sqrt{a+bx}\text{d}x}{x^{n-1}} \right],n \geq 2

跟上一个基本一样，不再赘述。

特别地，当 n=1 时，有：

\color{red} \int \frac{\sqrt{a+bx}}{x}\text{d}x=2\sqrt{a+bx}+a\int \frac{\text{d}x}{x\sqrt{a+bx}}

我草，写这个玩意好废时间，后面的期末再来写。