多重背包

仙蕊缀锦 · 2022-10-02 21:42:01 · 个人记录

多重背包

题目描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 s_i 件，每件体积是 v_i，价值是w_i。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N,V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 v_i,w_i,s_i，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤100

0<v_i,w_i,s_i≤100

输入样例

输出样例

10

代码

多重背包朴素

状态表示： dp [ i ][ j ] 只从前 i 个物品中选，总体积不超过 j 的选法的集合。

属性： MAX

状态计算：

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i])
dp[i-1][j]：不选第 i 种物品，直接由上一层转移
dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]：选第 i 种物品k件，由上一层空出体积k*c[i]的状态+k*w[i]得来
与完全背包状态表示以及转移相同

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int n,v,c[1500],w[1500],s[1500],dp[1500][1500];

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&v);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d%d",&c[i],&w[i],&s[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) // 枚举物品
        for(int j=0;j<=v;j++) // 枚举体积
            for(int k=0;k<=s[i]&&k*c[i]<=j;k++) // 枚举决策
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
    printf("%d",dp[n][v]);
}

多重背包二进制优化

由于每组物品的件数均不一样，所以不能使用完全背包的优化方法（具体件数不可控），因此采用另一种思路——二进制优化。

将每一种物品由1.2.4.8.16.128...的件数打包，不足一组的零头重新打包，转化为01背包问题

//多重背包二进制拆分 
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int n,v,c[12500],w[12500],dp[25000];
int cnt;//划分成01背包后的总包数 

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&v);
    while(n--){
        int a,b,s; 
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&s);
        //倍增思想 
        int k=1; //相当于base(每组件数)：1 2 4 8 16 32 64 128 256...据此打包
        while(k<=s){
            cnt++;
            c[cnt]=k*a;
            w[cnt]=k*b;
            s-=k;
            k*=2;
        }
        if(s>0){ //若拆完之后还有零头
            cnt++; //再分一个包
            c[cnt]=a*s;
            w[cnt]=b*s;
        }
    }
    //相当于将多重背包转化为01背包
    n=cnt;//01物品总个数
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        for(int j=v;j>=c[i];j--)//注意倒序遍历 
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+w[i]);

    printf("%d",dp[v]);
}

多重背包单调队列优化

其实一般很少会被逼到需要使用单调队列优化的背包了

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 20010;

int n, m;
int f[N], g[N], q[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        memcpy(g, f, sizeof f);
        for (int j = 0; j < v; j ++ )
        {
            int hh = 0, tt = -1;
            for (int k = j; k <= m; k += v)
            {
                if (hh <= tt && q[hh] < k - s * v) hh ++ ;
                while (hh <= tt && g[q[tt]] - (q[tt] - j) / v * w <= g[k] - (k - j) / v * w) tt -- ;
                q[ ++ tt] = k;
                f[k] = g[q[hh]] + (k - q[hh]) / v * w;
            }
        }
    }
    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}