[ZMO0110]有理函数
一只书虫仔
·
·
个人记录
今天我们来复习有理函数。
一次函数
一次函数的概念
形如 f(x)=kx+b(k\ne0) 的函数称为一次函数。它的定义域为 \mathbb{R} ，值域为 \mathbb{R} 。
一次函数的性质
当 k>0 时，f(x) 在 \mathbb{R} 上单调递增；当 k<0 时，f(x) 在 \mathbb{R} 上单调递减。当 b=0 时，f(x) 为奇函数。
一次函数的图象
一次函数的图像是一条直线，其中 k 表示直线的斜率，如图：
左边为 k>0 的情况，右边为 k<0 的情况。
不要吐槽我找的图
二次函数
二次函数的概念
形如
f(x)=ax^2+bx+c(a\ne0)
的函数为二次函数，它的定义域为 \mathbb{R} 。
二次函数的图象与性质
二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴为 x=-\dfrac{b}{2a} ；当 a>0 时，抛物线开口向上，函数值域为 \left[\dfrac{4ac-b^2}{4a},+\infty\right)，单调递减区间为 \left(-\infty,-\dfrac{b}{2a}\right]，单调递增区间为 \left[-\dfrac{b}{2a},+\infty\right) ；当 a<0 时，抛物线开口向下，函数值域为 \left(-\infty,\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right] ，单调递增区间为 \left(-\infty,-\dfrac{b}{2a}\right] ，单调递减区间为 \left[-\dfrac{b}{2a},+\infty\right)
只看上面的两个图象，左边的 a>0 ，右边的 a<0 。
二次函数解析式的三种形式
- 一般式：y=ax^2+bx+c ，其中参数 a 控制抛物线的开口方向与开口大小，参数 a 相同的二次函数形状相同；参数 a,b 共同控制抛物线左右方向的平移；参数 c 控制抛物线上下方向的平移。
- 顶点式：y=a(x-h)^2+k，对应抛物线的顶点为 (h,k) 。
- 两根式：y=a(x-x_1)(x-x_2)，对应二次函数的零点为 x_1,x_2 。
反比例函数
反比例函数的概念
解析式形如 y=\dfrac{k}{x},k\ne0 的函数为反比例函数，它的定义域为 \{x|x\ne0\} ，值域为 \{y|y\ne0\} 。
反比例函数的性质
反比例函数是奇函数；当 k>0 时，它在 (-\infty,0) 与 (0,+\infty) 上分别单调递减；当 k>0 时，它在 (-\infty,0) 与 (0,+\infty) 上分别单调递增。
反比例函数的图象
反比例函数的图象是两条双曲线，以 x 轴与 y 轴为渐近线；反比例函数是一种特殊的一次分式函数，一次分式函数就是反比例函数通过平移得到的。反比例函数的图象如下
左边为 k<0 ，右边为 k>0 。
幂函数
幂函数的概念
形如
y=x^\alpha,\alpha\in\mathbb{R}
的函数称为幂函数。
幂函数的图象与性质
幂函数恒过定点 (1,1) ，它的定义域、值域、单调性与奇偶性都与 \alpha 相关。当 \alpha>0 时，幂函数在 (0,+\infty) 上单调递增；当 \alpha<0 时，幂函数在 (0,+\infty) 上单调递减；幂函数在其他区间上的性质可以结合幂函数的奇偶性判断。
一些幂函数的图象
多项式函数
多项式函数的概念
形如
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,n\in\mathbb{N}^*,a_n\ne0
的函数称为多项式函数。其中 n 称为多项式函数的次数。
多项式函数的奇偶性
)$ 为奇函数当且仅当它的所有偶数次数系数均为零。
### 多项式函数的奇点
$n$ 次多项式函数 $f(x)$ 有 $n$ 个根（不一定是实根）。特别的，二次方程可能有 $2$ 个共轭虚根、$2$ 个相异实根、$2$ 个相同实根，三次方程可能有 $2$ 个共轭虚根和 $1$ 个实根或 $3$ 个实根。
## 分式方程
### 分式方程的概念
形如
$$f(x)=\dfrac{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0}{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0}$$
的函数称为**分式函数**，其中分子与分母没有共同的因式，且 $m,n\in\mathbb{N},m\geqslant1$ 。分子多项式与分母多项式中较高的次数 $\max\{m,n\}$ 称为分式函数的次数。
### 一次分式函数
形如
$$f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d},c\ne0,a^2+b^2\ne0,bc-ad\ne0$$
的函数称为**一次分式函数**。
性质：
一次分式函数 $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 的图象是双曲线，且它的两条渐近线分别为 $x=-\dfrac{d}{c}$ 和 $y=\dfrac{a}{c}$ 。
### 基本对勾函数
形如
$$f(x)=ax+\dfrac{x}{b},ab\ne0$$
的函数称为**基本对勾函数**。基本对勾函数是一种特殊的分式函数。
性质：
基本对勾函数 $f(x)=ax+\dfrac{b}{x},ab\ne0$ 的图象是双曲线，且它的两条渐近线分别为 $x=0$ 和 $y=ax$ 。
### 二次分式函数
二次分式函数可以按分母多项式的次数分为两类：分母为一次多项式时，利用多项式除法可以将分式函数化为形如
$$f(x)=ax+a_0+\dfrac{b}{x+b_0},ab\ne0$$
的函数，称为**对勾函数**；分母为二次多项式时，利用多项式除法可以将分式函数化为对勾函数或二次函数的补充倒数函数。
性质：
对勾函数 $f(x)=ax+a_0+\dfrac{b}{x+b_0},ab\ne0$ 的图象是双曲线，且它的两条渐近线分别为 $x=-b_0$ 和 $y=ax+a_0$ 。