数学分析做题笔记 1

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题目 设 f(x) 是 (0,1] 上的连续可微函数，若存在正实数 p < 1 使得 \lim_{x\to 0_+}x^pf'(x) 存在且是有限数，证明 f 是一致连续的。

证明 因为 \lim_{x\to 0_+}x^pf'(x) 存在且是有限数，故知存在正实数 u,D 使得 |f'(x)| < Dx^{-p} 对所有 x\in (0,u] 成立。注意到 f(x) 在 [u,1] 上是连续的，故是一致连续的，我们重点关注 f(x) 在 (0,u] 上的行为。

对 0 < a < b\leq u，由拉格朗日中值定理知存在 \xi\in (a,b) 使得 f'(\xi)(b-a)=f(b)-f(a)。尝试从这里入手，得 |f(b)-f(a)|=|f'(\xi)||b-a| < D\xi^{-p}|b-a|<Da^{\xi}|b-a|。但是可以发现这并不能保证在 b-a 足够小时有 |f(b)-f(a)| 够小。究其原因，是因为我们无法确定 \xi 的位置，从而被迫将其压在左端点 a 上，导致放缩失去精度。容易想到：在端点比值很大时，我们应该增加区间的数目来提升放缩的精度。

考虑构造一系列倍增的区间 [a,2a],[2a,4a],[4a,8a],...,[2^ka,b]，这里 k 是最大的使得 2^ka\leq b 的非负整数。则

|f(b)-f(a)|\leq \sum_{i=0}^{k-1}|f(2^{i+1}a)-f(2^ia)|+|f(b)-f(2^ka)| =\sum_{i=0}^k |f'(\xi_i)||p_{i+1}-p_i|

（这里 p_i=2^ia\ (i=0,1,\dots,k)，p_{k+1}=b，\xi_i\in(p_i,p_{i+1})。）

< \sum_{i=0}^k |f'(\xi_i)||p_{i+1}-p_i| < \sum_{i=0}^k D\xi_i^{-p}|p_{i+1}-p_i| < \sum_{i=0}^k Dp_i^{-p}|p_{i+1}-p_i|

为了方便地解决最后一个不规则的区间，我们令 q_i=2^ia\ (i=0,1,\dots,k+1)，注意数列 p,q 的差别仅在最后一项。则原式

< \sum_{i=0}^k Dq_i^{-p}|q_{i+1}-q_i| =DT\sum_{i=0}^k \dfrac{1}{2^i}T\times (\dfrac{1}{2^{i+1}}T)^{-p} =2^{p}DT^{2-p}\sum_{i=0}^k (2^{p-1})^i

注意到 p < 1，故 2^{p-1} < 1，故 \sum_{i=0}^k (2^{p-1})^i<\dfrac{1}{1-2^{p-1}}=C。总之我们得到

|f(b)-f(a)|<2^pCDT^{2-p}

若 b>2a，则 T<3|b-a|，故 |b-a| 足够小时不论 a 多小，|f(b)-f(a)| 都足够小。a\leq b \leq 2a 的情况可以直接证明。再稍稍讨论一下跨过 u 的区间（这是简单的），我们就完成了整题的证明。