数学杂题分享 9

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题目 设 f(x) 是 2021 次首一整系数多项式，其各项系数绝对值均不超过 40，且常数项非 0。证明它（在复数域中）的根不可能全为实数。

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反证，设有 2021 个实根 x_1\sim x_{2021}。由于常数项非 0，x_i 都不为 0。考虑

A=(x_1^2+\cdots+x_{2021}^2)(\dfrac{1}{x_1^2}+\cdots+\dfrac{1}{x_{2021}^2})

一方面由柯西不等式上式的值不小于 2021^2。另一方面设 a_i 为 f 的 i 次项系数，由韦达定理

|A|=|(a_{2020}^2-2a_{2019})((\dfrac{a_2}{a_0})^2-\dfrac{2a_1}{a_0})|\leq 1680^2

这显然是矛盾的。

来源 本题来自 2021 年全国大学生数学竞赛初赛数学类 A 卷。