一元二次方程

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定义

一元二次方程

我们把只含有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的等式称为一元二次方程，形式化就是把形如 ax^2 + bx + c = 0(a \ne 0) 的等式称为一元二次方程。

为什么这里的 a \ne 0 呢？我们可以从两个角度考虑：

  1. 根据定义可以知道，必须有一项的次数为 2，否则这个方程就是一个一元一次方程，所以 a \ne 0。
  2. 根据两个根的关系 ：x_1x_2 = \dfrac{c}{a} 和 x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a}，众所周知，0 不能当除数，所以 a \ne 0。

解(根)

顾名思义，解就是使等式成立的未知数的值，也称为根。一元二次方程的根一般有两个，但是这两个根可能相等；还有一种可能就是这个方程没有实数根。

比如 x^2 - 8x + 15 = 0，这个方程有两个不相等的实数根：x_1 = 3,x_2 = 5，而 x^2 + 1 = -1 这个方程没有实数根。

总结一下，一元二次方程的根分为两种情况：

  1. 两个根：x_1 \ne x_2 或者 x_1 = x_2
  2. 无实数根

解一元二次方程

总述

解一元二次方程共有四种方式，分别为直接开平方法、配方法，因式分解法、公式法。

直接开平方法

这个方法是最简单的一种。比如说 ax^2 = b(a \ne 0)，这个瞪眼法直接秒，x_1 = \sqrt{\dfrac{b}{a}},x_2 = -\sqrt{\dfrac{b}{{a}}} 但是考试一般不会直接考你直接开平方法，一般会结合配方法一起使用。

优点：计算简便
缺点：过于简单，考试基本不会考

配方法

这个方法的核心就在于把 ax^2 + bx + c = d 的这么一个一元二次方程变成 a(x + m)^2 = n(a \ne 0 \text{且} n \ge 1) 的形式，这样我们就可以用直接开平方法快速算出方程的两个根：x_1 = \sqrt{\dfrac{n}{a}} - m,x_2 = -\sqrt{\dfrac{n}{a}} - m

这个方法的关键在于要熟练掌握完全平方公式：(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2

这个方法一般分为五步：

  1. 移项：将常数项移到等号右边
  2. 二次项系数化为一：等式两边同时除以 a
  3. 等式两边同时加上一次项系数的一半的平方
  4. 写成完全平方公式的形式
  5. 写解

形式化就是：关于 x 的一元二次方程 ax^2 + bc + c = d

第一步：移项

ax^2 + bx = d - c

第二步：二次项系数化为一

x^2 + \dfrac{b}{a}x = \dfrac{d - c}{a}

第三步：等式两边同时加上一次项系数的一半的平方

x^2 + \dfrac{b}{a}x + (\dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{d - c}{a} + (\dfrac{b}{2a})^2

第四步：写成完全平方公式的形式

(x + \dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{4ad - 4ac + b^2}{4a^2}

第五步：写解

x_1 = \dfrac{\sqrt{4ad - 4ac + b^2} - b}{2a},x_2 = -\dfrac{\sqrt{4ad - 4ac + b^2} - b}{2a}
优点：计算便捷
缺点：当系数过大时，这个方法非常的不实用
使用条件：b 为偶数，2 \mid a 时，这个方法非常好用

关于配方法的技巧

如果我们前几步按照上面的算，那么计算过程会很麻烦。

这时我们不妨将 ax^2 + bx 和 d - c 分开，设 \dfrac{b}{a} = n。

第一步，将 a 提取出来 \Rightarrow a(x^2 + nx) = d - c

第二部，将 a(x^2 + nx) 变成 a(x^2 + nx + \dfrac{n^2}{4})，同时等号右边变成 d - c + \dfrac{an^2}{4}

第三步到第五步就和上面的一样了。

因式分解法

这个方法既是最简单的，也是最难的一个方法，一般大题用这个方法比较好做。

这个方法的核心就是把 ax^2 + bx + c = d(a \ne 0) 的这么一个一元二次方程因式分解成 (x + n)(x + m) = 0 的形式，这样方程的两个解为：x_1 = -n,x_2 = -m。

这个方法的关键在于要熟练掌握平方差公式 (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 和十字相乘法。

这个方法一般分为四步：

  1. 提：观察各项系数是否有公因数(式)可以提
  2. 套：套平方差公式或者十字相乘
  3. 赋值：使两项分别为 0
  4. 写解

我们来举几个例子理解一下这四步：

2x^2 - 12 = 0

我们发现都有公因数 2，那我们就将 2 提出来变成 2(x^2 - 6) = 0 \Rightarrow x^2 - 6 = 0

到这里，这道题就解决完了，x_1 = \sqrt 6,x_2 = -\sqrt 6

2x^2 + 9x + 4 = 0

我们发现这道题每项系数都没有公因数，而且用配方法也不好做，这时候就要请出我们的十字相乘大法。

简单介绍一下十字相乘：

对于二次方程：ax^2 + bx + c = 0

假设 a = l \times r，c = n \times m

十字相乘法：

\begin{array}{|c|c|} \hline a = l \times r & c = n \times m \\ \hline l & n \\ r & m \\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{c} \color{blue}{l \rightarrow m} \\ \color{blue}{r \rightarrow n} \\ \end{array}\\ 蓝色箭头表示：l \times m 和 r \times n

验证：l \times m + r \times n = b

如果成立，则原式 = (lx + m)(rx + n) = 0

回到这道题，我们发现：

\begin{array}{|c|c|} \hline 2 = 1 \times 2 & 4 = 4 \times 1 \\ \hline 1 & 4 \\ 2 & 1 \\ \hline \end{array} \quad \begin{array}{c} \color{blue}{1 \rightarrow 1} \\ \color{blue}{2 \rightarrow 4} \\ \end{array}\\

满足：1 \times 1 + 2 \times 4 = 9 \therefore 原式 = (x + 4)(2x + 1) = 0

到这里这道题就解决完了，x_1 = -4,x_2=-\dfrac{1}{2}

优点：计算便捷
缺点：适用范围小，需要有一定的数感

公式法

这个方法的原理是运用配方法把 ax^2 + bx + c = 0 的解表示出来：

第一步，移项

ax^2 + bx = -c

第二步，二次项系数化为一

x^2 + \dfrac{b}{a}x = -\dfrac{c}{a}

第三步，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方

x^2 + \dfrac{b}{a}x + (\dfrac{b}{2a})^2 = -\dfrac{c}{a} + (\dfrac{b}{2a})^2

第四步，写成完全平方公式的形式

(x + \dfrac{b}{2a})^ 2 = \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}

第五步，写解

x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \begin{array}{|c|c|} \hline x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}& x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \hline \end{array}

这两个就是每一个一元二次方程的通解。

我们发现 b^2-4ac 的正负直接关系到这个方程解的情况：

b^2 - 4ac \begin{cases} x_1 \ne x_2 & >0 \\ x_1 = x_2 &= 0\\ \text{Don't have Solution} & <0 \end{cases}

于是我们称 b^2- 4ac 称为根的辨别式，用 \Delta 表示。

这个方法一般有4步：

  1. 找出 a,b,c
  2. 判断 \Delta 的正负
  3. 写出根的情况
  4. 写解

举个例子理解一下：

x^2-x-1=0

第一步，找出 a,b,c

a = 1,b=-1,c = -1

第二步，判断 \Delta 的正负

\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 5 > 0

第三步，写出根的情况

方程有两个不相等的实数根

第四步，写解

x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{1 + \sqrt5}{2},x_2 = x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\dfrac{1 - \sqrt5}{2}
优点：适用于所有一元二次方程
缺点：当 a,b,c 太大时，不建议使用此方法

两个根的关系

我们都知道一个一元二次方程的解为 x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}，那么这两个根之间有什么关系呢？

$\dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = -\dfrac{b}{a} $\dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \times \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{c}{a}

以上两个式子也称作韦达定理

注意在使用韦达定理时，一定要先满足 \Delta > 0。

一元二次方程的简单应用

比赛问题

  1. 单循环比赛

假设每两个队伍之间只比赛一场，比了 n 场，有 x 支队伍参加，则有

\dfrac{x(x - 1)}{2} = n
  1. 双循环比赛

假设每两个队伍之间比赛两场，比了 n 场，有 x 支队伍参加，则有

x(x - 1) = n

传染问题

假设有 a 个人感染了病毒，经过 n 传染后有 m 个人感染了，每轮每人传染 x 个人，则有

a(x + 1)^n = m

经济问题

假设初始量为 w，增长(下降)率为 x，结束量为 n，增长(减少)了 m 次，则有

w(1 \pm x)^m = n

新定义题目

题目怎么说的你怎么做

围栅栏

弄清是加还是减