微积分学习笔记

# 咕了。 # 微积分学习笔记 ## By 屑Billy2007 1. 前言 没啥，只是作者最近无聊，开始学微积分了罢了。 还有，因为`Billy2007`太菜了，所以本文任何合理的比喻都用她来。 还有，公式类的会在我的数学博客上写，要点类的会在这里写。 还有，有些不懂的可能会在讨论区提出。 2. $\lim$ 在我的数学博客上写过了。 3. 导数$\prime$ 我们假设一只`Billy2007`在第$x$秒走到了$f(x)$米，那么显然这个$f$无法用一般函数来表示。 我们假设`Billy2007`开始匀速直线运动时的时间为$x_0$，结束匀速直线运动时的时间为$x$。 所以，我们知道从$x_0$到$x$`Billy2007`一共走了$\lim_{x→x0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$米。 继续简化，假设$x-x_0=\triangle x$，那么上式就可以简化为$\lim_{\triangle x→0}\frac{f(\triangle x+x_0)-f(x_0)}{\triangle x}$。 继续，我们设$f\prime(x_0)=\lim_{\triangle x→0}\frac{f(\triangle x+x_0)-f(x_0)}{\triangle x}$，这里$f\prime(x_0)$就是珂愛的导数了。 总结：如果一只`Billy2007`在第$x$秒走到了$f(x)$米，那么这只`Billy2007`任何时刻的**瞬时**速度就是$f\prime(x)$（因为这里$x→x_0$，所以$f\prime(x)\approx f\prime(x_0)$）。 4. 奇函数 在我的数学博客上写过了。 5. 数列极限 5.1. $\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2}=?$ 在我的数学博客上写过了。 5.2. $(1+\frac{1}{\infty})^\infty=?$ 我们假设$n=\infty$。 原式$=1+1+\sum_{i=2}^{n} \frac{1}{i!} \prod_{j=1}^{n-1} (1-\frac{j}{n})$（牛顿二项公式）。 6. 无穷的比较 我们用$\lim_{x→0}x,\lim_{x→0}x^2$来表示当$x→0$时的$x,x^2$。 那么，我们就可以来比较$\lim_{x→0}x$和$\lim_{x→0}x^3$了。 我们在这里，用两数相除的方式来比较。 $\lim_{x→0}\frac{x}{x^3}=\frac{1}{x^2}=\infty$。 然后，我们定义： - 当$\lim\frac{b}{a}=0$时，$b$是$a$的高阶无穷小； - 当$\lim\frac{b}{a}=\infty$时，$b$是$a$的低阶无穷小； - 当$\lim\frac{b}{a}=$非$0$**常数**时，$b$是$a$的同阶无穷小； - 当$\lim\frac{b}{a}=1$时，**$b$是$a$的等价无穷小；** 接下来，如果$\lim x$下面没有东西，就代表$\lim_{x→0} x$。 下面，我们将比较$\lim x$和$\lim \sin x$。 我们这里为了方便，使用弧度制，也就是将$180$°设定为$\pi$——所以$90$°就是$\frac{\pi}{2}$。  在上图中，$AG=1$。 显然$∠GAC<90$°，也就是$∠GAC<\frac{\pi}{2}$。 图中，存在$S_{\triangle GAC}<S_{\overset{\frown}{GAC}}<S_{\triangle CAF}$。 那么，根据某神奇计算（~~作者这里也没有搞懂~~），$S_{\triangle GAC}=\frac{\sin x}{2},S_{\overset{\frown}{GAC}}=\frac{x}{2},S_{\triangle CAF}=\frac{\tan x}{2}$，就是： $\sin x<x<\tan x→1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}→\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$。 注：因为$\cos x$和$\frac{\sin x}{x}$都是**偶函数**，所以不用考虑$x$是不是正数。 Ps:$y=\frac{\sin x}{x}$的图像如下所示：  $y=\cos x$的图像如下所示：  所以，$\lim \cos x=1$. 7. 计算面团的大小 ~~众所周知~~，面团大小$v$与重量$m$之间的**理想**函数关系为$v=\frac{m}{\rho}$，改写成一次函数即为$v=km+b→v=\rho^{-1}m$。 如果面团是球形，那么就有$v=\frac{4}{3}\pi r^3$。 我们假设$j=\frac{4}{3}\pi,k=\rho^{-1}$。 那么就有$v=km=jr^3,$我们假设面团**一定是球形**，就是$r=\sqrt[3]{\frac{j}{k}m}→r=xm^\frac{1}{3}(x=\frac{j}{k})$。