一些有用的三角恒等式及其证明
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以下是在三角形（内角 A, B, C 满足 A+B+C=\pi ）中常见的三角函数恒等式及其证明。记 a, b, c 为对应边，R 为外接圆半径，s=\frac{a+b+c}{2} 为半周长。
1. 正弦定理
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
证明：作 \triangle ABC 的外接圆，圆心 O，半径 R。过 B 作直径 BD，则 \angle BCD = 90^\circ，且 \angle D = \angle A。在 Rt\triangle BCD 中，\sin D = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R}，故 \sin A = \frac{a}{2R}，即 a = 2R\sin A。同理可得其他等式。
2. 余弦定理
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
证明：以 A 为原点，AB 为 x 轴建立坐标系，则 B(c,0)，C(b\cos A, b\sin A)。由距离公式：
a^2 = (c - b\cos A)^2 + (0 - b\sin A)^2 = b^2\cos^2A + c^2 - 2bc\cos A + b^2\sin^2A = b^2 + c^2 - 2bc\cos A.
3. 正切定理
\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}
证明：由正弦定理，a=2R\sin A,\ b=2R\sin B，则
\frac{a-b}{a+b} = \frac{\sin A - \sin B}{\sin A + \sin B} = \frac{2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}}{2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}} = \frac{\tan\frac{A-B}{2}}{\tan\frac{A+B}{2}}.
其中 A+B = \pi - C，故 \tan\frac{A+B}{2} = \cot\frac{C}{2}，但通常保留此形式。
4. 半角公式（用边长表示）
\cos\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}, \quad
\tan\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}
证明：由余弦定理，\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}。利用半角公式 \sin^2\frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{2}：
\sin^2\frac{A}{2} = \frac{1}{2}\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) = \frac{2bc - b^2 - c^2 + a^2}{4bc} = \frac{a^2-(b-c)^2}{4bc} = \frac{(a-b+c)(a+b-c)}{4bc}.
令 s=\frac{a+b+c}{2}，则 a-b+c = 2(s-b)，a+b-c = 2(s-c)，代入得 \sin^2\frac{A}{2}=\frac{(s-b)(s-c)}{bc}，开方取正即得。类似可证 \cos\frac{A}{2} 公式。
5. 和差化积型恒等式
\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}
证明：
\sin A + \sin B &= 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} = 2\sin\frac{\pi-C}{2}\cos\frac{A-B}{2} = 2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}, \\
\sin C &= 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}.
\end{aligned}
相加得：
原式 = 2\cos\frac{C}{2}\left(\cos\frac{A-B}{2} + \sin\frac{C}{2}\right) = 2\cos\frac{C}{2}\left(\cos\frac{A-B}{2} + \cos\frac{A+B}{2}\right),
因为 \sin\frac{C}{2} = \cos\frac{A+B}{2}。再利用和差化积：
\cos\frac{A-B}{2} + \cos\frac{A+B}{2} = 2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2},
因此原式 = 2\cos\frac{C}{2} \cdot 2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2} = 4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}。
6. 类似恒等式
\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}
证明：
\cos A + \cos B &= 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} = 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}, \\
\cos C &= 1 - 2\sin^2\frac{C}{2}.
\end{aligned}
相加得：
原式 = 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2} + 1 - 2\sin^2\frac{C}{2} = 1 + 2\sin\frac{C}{2}\left(\cos\frac{A-B}{2} - \sin\frac{C}{2}\right).
而 \sin\frac{C}{2} = \cos\frac{A+B}{2}，故括号内为 \cos\frac{A-B}{2} - \cos\frac{A+B}{2} = 2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}，代入得：
原式 = 1 + 2\sin\frac{C}{2} \cdot 2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2} = 1 + 4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}.
7. 二倍角恒等式
\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A \sin B \sin C
证明：
\sin 2A + \sin 2B &= 2\sin(A+B)\cos(A-B) = 2\sin(\pi-C)\cos(A-B) = 2\sin C\cos(A-B), \\
\sin 2C &= 2\sin C\cos C.
\end{aligned}
相加得：
原式 = 2\sin C\left(\cos(A-B) + \cos C\right) = 2\sin C \cdot 2\cos\frac{A-B+C}{2}\cos\frac{A-B-C}{2}.
由于 A+B+C=\pi，有 \frac{A-B+C}{2} = \frac{\pi - 2B}{2} = \frac{\pi}{2}-B，\frac{A-B-C}{2} = \frac{2A - \pi}{2} = A - \frac{\pi}{2}，故 \cos 变为正弦：
\cos\left(\frac{\pi}{2}-B\right) = \sin B,\quad \cos\left(A-\frac{\pi}{2}\right) = \sin A.
因此原式 = 2\sin C \cdot 2\sin B \sin A = 4\sin A\sin B\sin C。
8. 正切恒等式
\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C
证明：因为 A+B = \pi - C，两边取正切：
\tan(A+B) = \tan(\pi - C) = -\tan C.
由正切和公式：\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B} = -\tan C，整理得：
\tan A+\tan B = -\tan C (1-\tan A\tan B) \Rightarrow \tan A+\tan B+\tan C = \tan A\tan B\tan C.
9. 余切恒等式
\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1
证明：将正切恒等式两边除以 \tan A\tan B\tan C（假设均不为零）：
\frac{1}{\tan B\tan C} + \frac{1}{\tan A\tan C} + \frac{1}{\tan A\tan B} = 1,
即 \cot B\cot C + \cot A\cot C + \cot A\cot B = 1。