【UR #3】链式反应

$$f_i=\frac{1}{2}\sum_{j=0}^{i-1}\sum_{k=0}^{i-1} [j+k \le i-1] [i-1-j-k \in A] {i-1 \choose j} {i-1-j \choose k} f_j f_k$$ 其中 $f_1=1$ $$f_i=\frac{1}{2}\sum_{a+b+c=i-1} [c \in A] \frac{(i-1)!}{a!(i-1-a)!} \frac{(i-1-a)!}{b!(i-1-a-b)!}f_af_b$$ $$\frac{f_i}{(i-1)!}=\sum_{a+b+c=i-1} \frac{\frac{1}{2}[c \in A]}{c!} \frac{f_a}{a!} \frac{f_b}{b!}$$ $$xF'(x)=xG(x)F^2(x)+x \Rightarrow y'=G(x)y^2+1$$