【数学】纯几何大战向量法

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学而思网校，高一暑假物理5星班，第5讲第5题：

如图，等边三角形ABC中，D为任意一点，G为正三角形重心，如果矢量\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}分别代表三个力，则这三个力的合力大小用\overrightarrow{DG}表示为？

没错它其实是个物理题

首先向量君登场了！

如图，\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}

=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GC} = 3\overrightarrow{DG} + \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{DC} =3\overrightarrow{DG}.

然而纯几何君不甘示弱！

直接把合力构造了出来！

以DA,DC为边往左作平行四边形ADCE,

以DB,DE为边往左作平行四边形EDBF,

连接DE交AC于H,连接DF,BH

根据平行四边形法则，\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}.

因为AB,DE为平行四边形对角线，所以AH=HC,EH=DH.

因为H为重心，所以BH过点G,且BG=2GF.

\because DE \parallel BF, \therefore \angle DHG = \angle FBG.

又\because \dfrac{DH}{FB}=\dfrac{GH}{GB}=2

\therefore \triangle DGH \sim \triangle FGB (SAS) \therefore DGF$共线，且$ \dfrac{GF}{DF}=\dfrac{BF}{HD}=\dfrac{ED}{HD}=2. \therefore GF = 2DG,DF = 3DG,

即合力=3\overrightarrow{DG}.

ADH竟然用下课14分钟完成了这篇文章OHHHHHHHHH

\textrm{——A.D.Horcrux presents.}

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