《抽象代数 I》第四章第1节习题选做

Elegia · 2021-03-09 11:13:09 · 个人记录

首先 \Leftarrow 显然，接下来证明 \Rightarrow。转化为逆否命题，那么存在 x\in E\backslash F,y\in F\backslash E，考虑 x+y，可知其不属于 E 也不属于 F，因此 E\cup F 不满足封闭性，故不是域。

2. 证明域 \mathbb{Q} 的自同构只有恒同自同构。

设同构 \sigma，首先考虑 \sigma ( 1)。由 \sigma ( 1\cdot 1) =\sigma ( 1)^{2} 可知 \sigma ( 1) =1。那么对于 n >0,\sigma ( n) =\sigma ( 1+\cdots +1) =n\sigma ( 1) =n，那么对于 q=\frac{n}{m} ,\sigma \left(\frac{n}{m}\right) =\frac{\sigma ( n)}{\sigma ( m)} =\frac{n}{m}，我们就证明了 \sigma 是恒同自同构。

3. 给出 \mathbb{Q}(\mathrm{i}) 到 \mathbb{C} 的全部域嵌入。

首先根据上一道题可知，任一嵌入 \sigma 必定将 \mathbb{Q} 以恒同的方式映到 \mathbb{Q}，接下来只需定出 \sigma (\mathrm{i})。由于 \sigma (\mathrm{i})^{2} =\sigma \left(\mathrm{i}^{2}\right) =-1，我们可知只有两种取法：

• 恒同映射。x+y\mathrm{i} \mapsto x+y\mathrm{i}
• 共轭。x+y\mathrm{i} \mapsto x-y\mathrm{i}

不难验证它们都符合条件。

4. 证明不存在 \mathbb{Q}(\mathrm{i}) 到 \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right) 的嵌入。

设嵌入 \sigma 存在，那么有 \sigma (\mathrm{i})^{2} =-1，但 x^{2} =-1 在 \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right) 中无解，矛盾。

5. 设域 K 以及 \alpha 是 K 上的超越元，证明 K( \alpha ) 到自身有无穷多个嵌入。

考虑对于每个正整数 n，有

都是一个嵌入，如此已经构造出无穷多个。

6. 求下列元素在 \mathbb{Q} 上的极小多项式：

(1) z=a+b\mathrm{i}，其中 a,b\in \mathbb{Q} ,b\neq 0。

考虑 f( x) =( x-z)( x-\overline{z}) =\left( x-a^{2}\right) +b^{2} 有零点 z，只需证其不可约，由 b\neq 0 可知 ( x-z) \notin \mathbb{Q}[ x] 即得。

(2) \omega =\mathrm{e}^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{p}}，其中 p 为奇素数，\mathrm{e} 为自然对数的底。

由欧拉公式可知 \omega 是 p 阶单位根，有 \omega ^{p} =1。考虑 f( x) =\frac{x^{p} -1}{x-1} =1+x+\cdots +x^{p-1}，由上节习题可知 f 不可约，故其为极小多项式。

7. 设 K/F 是域的有限扩张，[ K:F] 为素数，\alpha \in K\backslash F，证明 K=F( \alpha )。

由于 K 是 F( \alpha ) 的扩张，可知 [ K:F( \alpha )][ F( \alpha ) :F] =[ K:F]，由 \alpha \notin F 可知后者不为 1，因此只能是 p，故 [ K:F( \alpha )] =1，也就有 K=F( \alpha )。

9. 设 K/F 是域扩张，\alpha \in K 是 F 上的一个奇数次代数元，证明 F( \alpha ) =F\left( \alpha ^{2}\right)。

显然 \alpha ^{2} \in F( \alpha )，因此 F( \alpha ) \supseteq F\left( \alpha ^{2}\right)。考虑反证，设 F( \alpha ) \varsupsetneq F\left( \alpha ^{2}\right)，那么 \alpha 在 F\left( \alpha ^{2}\right) 上的极小多项式大于 1 次。x^{2} -\alpha ^{2} 必然是极小多项式。也就有 \left[ F( \alpha ) :F\left( \alpha ^{2}\right)\right] =2，但又有 [ F( \alpha ) :F] =\left[ F( \alpha ) :F\left( \alpha ^{2}\right)\right]\left[ F\left( \alpha ^{2}\right) :F\right]，和扩张次数为奇数的题设矛盾。

10. 设 K 是域。如果 x^{n} -a\in K[ x] 不可约，证明对于 n 的任一正因子 m，x^{m} -a 在 K[ x] 中也不可约。

考虑反证，设 x^{m} -a=f( x) g( x)，那么 x^{n} -a=f\left( x^{n/m}\right) g\left( x^{n/m}\right)，就得到了 x^{n} -a 的一组分解，矛盾。

11. 求下列域 K 作为 \mathbb{Q} 线性空间的一组基：

(1) K=\mathbb{Q}\left(\sqrt{2} ,\sqrt{3}\right)；