题解 P4196 【[CQOI2006]凸多边形】

Fheiwn · 2018-02-01 10:28:34 · 题解

很明显是一道半平面交的题。
先说一下半平面交的步骤：
1.用点向法（点+向量）表示直线
2.极角排序，若极角相同，按相对位置排序。
3.去重，极角相同的保留更优的
4.枚举边维护双端队列
5.求答案

1就不说了，2中的极角可以用atan2(y,x)来求,因为atan2精度要高

双端队列的原因是新加的一条边对头和尾都有影响,如图：

如何去判断：只要判断线head和线head+1,的交点p与新的一条线的位置关系就可以

至于交点的求法：先见图：

求p_1v_1,p_2v_2的交点p_0
设p_0=p_2+kv_2\ \ u=p_2-p_1

所以p_0=p_2+kv_2

最后统计答案
细节见代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#define QAQ int
#define TAT long long
#define OwO bool
#define ORZ double
#define F(i,j,n) for(QAQ i=j;i<=n;++i)
#define E(i,j,n) for(QAQ i=j;i>=n;--i)
#define MES(i,j) memset(i,j,sizeof(i))
#define MEC(i,j) memcpy(i,j,sizeof(j))

using namespace std;
const int N=505;
const double eps=1e-8;

int n;
struct Point{
    double x,y;

    friend Point operator - (Point a,Point b){
        Point t;
        t.x=a.x-b.x;t.y=a.y-b.y;
        return t;
    }
    friend Point operator + (Point a,Point b){
        Point t;
        t.x=a.x+b.x;t.y=a.y+b.y;
        return t;
    }
    friend double operator * (Point a,Point b){
        return a.x*b.x+a.y*b.y;
    }
    friend double operator ^ (Point a,Point b){
        return a.x*b.y-b.x*a.y;
    }
    friend Point operator * (double k,Point b){
        Point t;
        t.x=k*b.x;t.y=k*b.y;
        return t; 
    }
}b[N];
int sign(double x){
    return fabs(x)<=eps ?  0 : (x>0 ? 1 : -1);
}
struct Line{
    Point p,v;
    double poa;
    friend OwO operator < (Line x,Line y){
        return sign(x.poa-y.poa)==0 ? sign((x.v-x.p) ^ (y.v-x.p)) >0 : sign(x.poa-y.poa)<0;
        //因为我是向量左侧求交，所以极角相同时靠左的更优，把优的放在后面，方便之后的操作 ，可以画图体会一下 
    }
}a[N],q[N];
int js,cnt,head,tail;
double ans;

Point inter(Line a,Line b){//求交点 
    Point p1=a.p,p2=b.p,v1=a.v,v2=b.v;
    v1=v1-p1;v2=v2-p2;
    Point u=p2-p1;
    Point p=p2+((u^v1)/(v1^v2))*v2;
    return p;
}

OwO pd(Line i,Line j,Line k){
    Point p=inter(i,j);
    return sign((k.v-k.p) ^ (p-k.p))<0;
}

void Half_Plane(){
    sort(a+1,a+js+1);//排序 
    F(i,1,js) {
        if(sign(a[i].poa-a[i-1].poa)!=0) cnt++;
        a[cnt]=a[i];//因为排过序，即使极角相同，后面的也比前面的优 
    }
    head=1;tail=0;
    q[++tail]=a[1];q[++tail]=a[2];
    F(i,3,cnt){
        while(head<tail&&pd(q[tail-1],q[tail],a[i])) tail--;//维护双端队列 
        while(head<tail&&pd(q[head+1],q[head],a[i])) head++;
        q[++tail]=a[i];
    }
    while(head<tail&&pd(q[tail-1],q[tail],q[head])) tail--;
    while(head<tail&&pd(q[head+1],q[head],q[tail])) head++;
    q[tail+1]=q[head];
    js=0;
    F(i,head,tail) b[++js]=inter(q[i],q[i+1]);
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    F(i,1,n){
        int k;
        scanf("%d",&k);
        F(j,1,k) scanf("%lf%lf",&b[j].x,&b[j].y);
        b[k+1]=b[1];
        F(j,1,k) a[++js].p=b[j],a[js].v=b[j+1];
    }
    F(i,1,js) a[i].poa=atan2(a[i].v.y-a[i].p.y,a[i].v.x-a[i].p.x);
    Half_Plane();
    b[js+1]=b[1];
    if(js>2) F(i,1,js) ans+=(b[i]^b[i+1]);
    ans=fabs(ans)/2.0;
    printf("%.3lf\n",ans);
    return 0;
}