一道沉石鱼惊旋文化课数学卷子上的题

Jorisy · 2025-04-18 22:48:02 · 学习·文化课

Source：2025 年江苏省无锡市梁溪区中考一模 T10

有两种 1\times 2 的矩形，分别只连接了其中一条对角线，如图：

现在需要取两种矩形共 50 个，无空缺无覆盖地填满于 10\times 10 的网格中，要求任意两条对角线没有公共点。下图的三种都是不合法的摆放：

求两种矩形分别可能有多少个。

只会分别是 20,30 个。

构造如下图：

原题是选择题，到这里就结束了。

下面证明答案唯一以及本质不同的构造仅有这一种。

我们从这样的一个「基础情形」入手：

引理 1：像上图这样将矩形的长完全重合的摆放，一组内矩形个数 \le 2。

假设可以有 3 个，我们将无法作为对角线端点的点标注出来：

发现对于红边的地方，我们在上面无论如何都无法放置矩形（枚举可得），「引理 1」得证。

引理 2：「基础情形」只会在图内出现 \le 1 次。

引理 3：当存在至少一个「基础情形」时，方案唯一。

我们考虑对于「基础情形」的下侧进行放置矩形。读者如果枚举一下会发现，我们只能如下图这样摆放：

此时我们发现，右侧的矩形放置方法有两种（如下图）：

我们这里插入证明一下，第二种摆放方式是不可行的。

首先我们仍然有可以唯一确定的矩形摆放：

进一步地：

以此类推，我们可以一直延伸到边界：

然后我们发现，红点向下无论如何放置矩形都是不合法的。于是我们证得第二种放法不可行。

于是，上侧的我们同理可得（方便起见，我们把被对角线覆盖过的点染成红色）：

对于左下和右上，我们可以枚举确定出唯一一种的摆放方法：

至此，我们已经唯一确定出了「基础情形」周围一圈的矩形摆放方式（其实，这里我们钦定了「基础情形」在中间，而忽略了在边界或角落的情况。事实上，我们可以用反证法容易地证明「基础情形」一定会在中间，这里留给读者思考）。

然后我们继续向外圈拓展。

首先根据我们「基础情形」周围一圈的摆放情况，我们不会在周围一圈的矩形进行像「基础情形」一样的并排摆放，「引理 2」得证。

首先左上右下我们可以和上述的插入证明一样，容易地唯一确定摆法：

然后我们可以进一步得到左下右上的摆法：

连锁反应一般，你会发现左上右下又可以确定了！

以此类推，最后可以得到我们一开始给出的构造方式。

由于我们每一步都是唯一确定的，所以这种摆法也是唯一的（注意这里是本质不同，因为你可以将「基础情形」翻转一下，这是本质相同的），「引理 3」得证。

引理 4：「基础情形」只会在图内出现 \ge 1 次。

反证法，假设出现了 0 次。

我们考虑钦定左上角的摆法：

首先由于不能出现「基础情形」，我们只能这样摆：

然后左下就确定了：

同理，我们可以向右类似地拓展。

最后向下向右到达边界的情形如下图：

然后我们仍然可以唯一确定我们的摆放方式，继续摆即可。

到最后你会发现，恰好是我们的构造方式，中间必然有一个「基础情形」，和我们的假设矛盾，所以「引理 4」得证。

综上所述，根据所有引理，我们可以得到我们原先所构造的就是本质不同的唯一解。

笔者水平菜，如果你有任何疑问，请在评论区犀利地指出 /kel。